Na análise de uma encosta para construção de um muro de arrimo, a topografia é modelada por f(x, y). O vetor normal ao plano tangente em um ponto da superfície representa. (justifique sua resposta)
a) O volume de terra a ser removido
b) A linha de nível onde a cota é constante
c) A direção perpendicular à superfície no ponto, útil para calcular forças de empuxo normais.
d) A direção de maior inclinação na encosta?

Passo 1

O enunciado pergunta o que representa o vetor normal ao plano tangente em um ponto da superfície modelada por f(x,y). Ele dá quatro alternativas:
a) O volume de terra a ser removido.
b) A linha de nível onde a cota é constante.
c) A direção perpendicular à superfície no ponto, útil para calcular forças de empuxo normais.
d) A direção de maior inclinação na encosta.
Vou listar explicitamente o que sabemos do enunciado:
  • A superfície é dada pela função altura z=f(x,y).
  • Em um ponto (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) consideramos o plano tangente à superfície.
  • O problema pede interpretar geometricamente/ fisicamente o vetor normal a esse plano tangente e justificar a escolha entre as alternativas dadas.

Passo 2

Definição e construção do plano tangente e do vetor normal (explicação didática).
  • Pense na superfície como o gráfico da função \,z=f(x,y)\,. Uma curva qualquer sobre essa superfície tem vetor tangente que fica no plano tangente. O plano tangente é o plano que “encosta” na superfície naquele ponto e tem a melhor aproximação linear local.
  • Para obter vetores que geram o plano tangente, parametrize a superfície por
\mathbf{r}(x,y)=(x,\;y,\;f(x,y)).
Os vetores parciais
\mathbf{r}_x=(1,\;0,\;f_x)\qquad\text{e}\qquad \mathbf{r}_y=(0,\;1,\;f_y)
são dois vetores tangentes ao gráfico em (x,y). Aqui f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y. Eu explico: \mathbf{r}_x é a derivada de \mathbf{r} quando vario x mantendo y fixo; isso dá um vetor tangente na direção x. Analogamente para \mathbf{r}_y.

Passo 3

Cálculo do vetor normal usando produto vetorial (fórmula e interpretação).
  • Um vetor normal ao plano tangente é perpendicular a todos os vetores tangentes; portanto pode ser obtido pelo produto vetorial de \mathbf{r}_x e \mathbf{r}_y:
\mathbf{n}=\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y.
  • Calculando explicitamente,
\mathbf{n}=(1,0,f_x)\times(0,1,f_y)=(-f_x,\,-f_y,\;1).
  • Observação importante sobre escala: \mathbf{n} acima é um vetor normal (direção) — pode ser multiplicado por qualquer escalar sem perder a direção; às vezes usa-se (f_x,f_y,-1) que é paralela a \mathbf{n}. O que importa é a direção, não o comprimento.

Passo 4

Interpretação geométrica e física do vetor normal (respondendo à alternativa c).
  • Pelo cálculo, \mathbf{n}=(-f_x,-f_y,1) é ortogonal a qualquer vetor tangente da superfície naquele ponto. Isso significa, geometricamente, que \mathbf{n} aponta na direção perpendicular à superfície no ponto considerado.
  • Em problemas de engenharia, forças de empuxo, pressões ou tensões que agem “normalmente” à superfície usam exatamente essa direção normal para decompor forças. Logo o vetor normal é útil para calcular componentes de força perpendiculares à superfície (empuxo normal). Isso coincide com a alternativa c).

Passo 5

Por que a alternativa a) está errada (volume ≠ vetor).
  • Um volume é uma grandeza escalar (ou uma região espacial), não um vetor diretor. O vetor normal dá apenas uma direção perpendicular local à superfície; não contém informação sobre “quanto volume” deve ser removido. Portanto a) está incorreta.

Passo 6

Por que a alternativa b) está errada (níveis e normalidade às curvas de nível).
  • A linha de nível (curva de contorno) é o conjunto de pontos com cota constante \,f(x,y)=c. No plano horizontal (x,y) a direção da curva de nível é tangente ao contorno. A propriedade clássica é: o gradiente \nabla f=(f_x,f_y) em (x,y) é perpendicular às curvas de nível no plano (x,y).
  • Em 3D, a curva de nível sobre a superfície é um curva que também tem um vetor tangente; o vetor normal ao plano tangente da superfície é perpendicular a esse vetor tangente da curva de nível (ou seja, o normal não “representa” a própria linha de nível). Portanto o vetor normal não é a linha de nível nem aponta ao longo dela; b) está errada.

Passo 7

Por que a alternativa d) está errada (direção de maior inclinação é tangente, não normal) — demonstração com cálculo.
  • A direção de maior inclinação (steepest ascent) da altura z=f(x,y) no plano horizontal é dada por \nabla f=(f_x,f_y) no plano (x,y). Se se quiser o vetor tangente na superfície que segue a subida mais rápida, considere uma curva sobre a superfície \gamma(t)=(x(t),y(t),f(x(t),y(t))) com velocidade \gamma'(t)=(x',y',f_x x'+f_y y'). Para maximizar a taxa de variação de z por unidade de deslocamento horizontal escolhe-se (x',y') proporcional a (f_x,f_y). Assim um vetor tangente que aponta na direção de maior inclinação é, por exemplo,
\mathbf{v}=(f_x,\;f_y,\;f_x^2+f_y^2).
  • Calcule o produto escalar entre \mathbf{v} e o normal \mathbf{n}=(-f_x,-f_y,1):
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=(-f_x)f_x+(-f_y)f_y+1\cdot(f_x^2+f_y^2)=0.
Isso mostra que a direção de maior inclinação é ortogonal ao vetor normal — ou seja, a direção de maior inclinação está dentro do plano tangente, não ao longo do normal. Portanto d) está errada.

Passo 8

Conclusão final e escolha correta com justificativa curta.
  • O vetor normal ao plano tangente em um ponto da superfície aponta perpendicularmente à superfície naquele ponto e é exatamente a direção que se usa para calcular componentes normais de forças (empuxo). Das alternativas dadas, apenas a c) descreve corretamente isso.

Resposta

c) A direção perpendicular à superfície no ponto, útil para calcular forças de empuxo normais.

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