Na análise de uma encosta para construção de um muro de arrimo, a topografia é modelada por
. O vetor normal ao plano tangente em um ponto da superfície representa. (justifique sua resposta)
a) O volume de terra a ser removido
b) A linha de nível onde a cota é constante
c) A direção perpendicular à superfície no ponto, útil para calcular forças de empuxo normais.
d) A direção de maior inclinação na encosta?
a) O volume de terra a ser removido
b) A linha de nível onde a cota é constante
c) A direção perpendicular à superfície no ponto, útil para calcular forças de empuxo normais.
d) A direção de maior inclinação na encosta?
Passo 1
O enunciado pergunta o que representa o vetor normal ao plano tangente em um ponto da superfície modelada por
. Ele dá quatro alternativas:
a) O volume de terra a ser removido.
b) A linha de nível onde a cota é constante.
c) A direção perpendicular à superfície no ponto, útil para calcular forças de empuxo normais.
d) A direção de maior inclinação na encosta.
a) O volume de terra a ser removido.
b) A linha de nível onde a cota é constante.
c) A direção perpendicular à superfície no ponto, útil para calcular forças de empuxo normais.
d) A direção de maior inclinação na encosta.
Vou listar explicitamente o que sabemos do enunciado:
- A superfície é dada pela função altura
. - Em um ponto
consideramos o plano tangente à superfície. - O problema pede interpretar geometricamente/ fisicamente o vetor normal a esse plano tangente e justificar a escolha entre as alternativas dadas.
Passo 2
Definição e construção do plano tangente e do vetor normal (explicação didática).
- Pense na superfície como o gráfico da função
. Uma curva qualquer sobre essa superfície tem vetor tangente que fica no plano tangente. O plano tangente é o plano que “encosta” na superfície naquele ponto e tem a melhor aproximação linear local. - Para obter vetores que geram o plano tangente, parametrize a superfície por
Os vetores parciais
são dois vetores tangentes ao gráfico em
. Aqui
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
. Eu explico:
é a derivada de
quando vario
mantendo
fixo; isso dá um vetor tangente na direção
. Analogamente para
.
Passo 3
Cálculo do vetor normal usando produto vetorial (fórmula e interpretação).
- Um vetor normal ao plano tangente é perpendicular a todos os vetores tangentes; portanto pode ser obtido pelo produto vetorial de
e :
- Calculando explicitamente,
- Observação importante sobre escala:
acima é um vetor normal (direção) — pode ser multiplicado por qualquer escalar sem perder a direção; às vezes usa-se que é paralela a . O que importa é a direção, não o comprimento.
Passo 4
Interpretação geométrica e física do vetor normal (respondendo à alternativa c).
- Pelo cálculo,
é ortogonal a qualquer vetor tangente da superfície naquele ponto. Isso significa, geometricamente, que aponta na direção perpendicular à superfície no ponto considerado. - Em problemas de engenharia, forças de empuxo, pressões ou tensões que agem “normalmente” à superfície usam exatamente essa direção normal para decompor forças. Logo o vetor normal é útil para calcular componentes de força perpendiculares à superfície (empuxo normal). Isso coincide com a alternativa c).
Passo 5
Por que a alternativa a) está errada (volume ≠ vetor).
- Um volume é uma grandeza escalar (ou uma região espacial), não um vetor diretor. O vetor normal dá apenas uma direção perpendicular local à superfície; não contém informação sobre “quanto volume” deve ser removido. Portanto a) está incorreta.
Passo 6
Por que a alternativa b) está errada (níveis e normalidade às curvas de nível).
- A linha de nível (curva de contorno) é o conjunto de pontos com cota constante
. No plano horizontal a direção da curva de nível é tangente ao contorno. A propriedade clássica é: o gradiente em é perpendicular às curvas de nível no plano . - Em 3D, a curva de nível sobre a superfície é um curva que também tem um vetor tangente; o vetor normal ao plano tangente da superfície é perpendicular a esse vetor tangente da curva de nível (ou seja, o normal não “representa” a própria linha de nível). Portanto o vetor normal não é a linha de nível nem aponta ao longo dela; b) está errada.
Passo 7
Por que a alternativa d) está errada (direção de maior inclinação é tangente, não normal) — demonstração com cálculo.
- A direção de maior inclinação (steepest ascent) da altura
no plano horizontal é dada por no plano . Se se quiser o vetor tangente na superfície que segue a subida mais rápida, considere uma curva sobre a superfície com velocidade . Para maximizar a taxa de variação de por unidade de deslocamento horizontal escolhe-se proporcional a . Assim um vetor tangente que aponta na direção de maior inclinação é, por exemplo,
- Calcule o produto escalar entre
e o normal :
Isso mostra que a direção de maior inclinação é ortogonal ao vetor normal — ou seja, a direção de maior inclinação está dentro do plano tangente, não ao longo do normal. Portanto d) está errada.
Passo 8
Conclusão final e escolha correta com justificativa curta.
- O vetor normal ao plano tangente em um ponto da superfície aponta perpendicularmente à superfície naquele ponto e é exatamente a direção que se usa para calcular componentes normais de forças (empuxo). Das alternativas dadas, apenas a c) descreve corretamente isso.
Resposta
c) A direção perpendicular à superfície no ponto, útil para calcular forças de empuxo normais.