Se |x| é muito maior que |y|,|z| e |t|, para qual dentre x, y, z e t o valor do determinante
f(x, y, z, t)=\left|\begin{array}{ll} x & y \\\ z & t \end{array}\right|=x t-z y
é mais suscetível? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a função determinante
f(x,y,z,t)=\left|\begin{array}{ll} x & y\\[4pt] z & t \end{array}\right|=xt-zy
e diz que |x| é muito maior que |y|, |z| e |t|. A pergunta: para qual dentre x,y,z,t o valor de f é mais suscetível (isto é, reage mais) a pequenas variações? Vou listar as informações relevantes:
A expressão exata de f é \,f(x,y,z,t)=xt-zy\,.
A hipótese é |x|\gg|y|,\;|z|,\;|t| (ou seja, x tem magnitude muito maior que as outras três entradas).
Precisa-se determinar qual variável, quando sofre uma pequena variação, provoca a maior alteração em f.]
Passo 2
Definir precisamente “suscetível”: quando se fala que uma função é sensível a uma variável, uma maneira natural de quantificar isso é olhar a derivada parcial em relação a essa variável — ela dá a taxa de variação instantânea de f quando só essa variável muda. Para funções de várias variáveis usamos a diferencial total para aproximar variações pequenas por variações lineares.
A diferencial total (ou aproximação linear) de f é
Interpretando as derivadas parciais: quando apenas \,x\, muda de forma pequena por \mathrm{d}x, a mudança aproximada em f é \mathrm{d}f\approx t\,\mathrm{d}x. Quando apenas t muda por \mathrm{d}t, a mudança é \mathrm{d}f\approx x\,\mathrm{d}t. Analogamente para y e z as mudanças são proporcionais a -z e -y, respectivamente.
Como dado que |x| é muito maior que |y|,|z|,|t|, comparando os módulos das derivadas parciais temos
\bigg|\frac{\partial f}{\partial t}\bigg|=|x|\quad\text{é muito maior que}\quad \bigg|\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|=|t|,\\ \bigg|\frac{\partial f}{\partial y}\bigg|=|z|,\\ \bigg|\frac{\partial f}{\partial z}\bigg|=|y|.é
Portanto, para pequenas variações absolutas iguais (\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z,\mathrm{d}t com mesma magnitude), o termo x\,\mathrm{d}t dominará \mathrm{d}f. Em outras palavras: f muda mais (em valor absoluto) quando t sofre uma pequena variação do que quando qualquer outra variável sofre a mesma pequena variação absoluta.
Passo 4
Explicação alternativa e intuição: na hipótese |x|\gg|y|,|z|,|t| o determinante vale aproximadamente
f=xt-zy\approx xt
porque |zy| é pequeno frente a |xt|. Assim, uma pequena mudança \Delta t produz
\Delta f\approx x\,\Delta t,
que é grande em módulo porque x é grande. Já uma pequena mudança \Delta x produz
\Delta f\approx t\,\Delta x,
que é pequena porque t é pequeno em módulo. Logo, em termos de variação absoluta do determinante, t é a variável cuja alteração causa o maior efeito.
Passo 5
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: tome x=1000, y=1, z=2, t=3. Então
f=1000\cdot 3 - 2\cdot 1 = 2998.
Uma pequena variação \Delta t=0,01 dá \Delta f\approx x\,\Delta t=1000\cdot 0,01=10 (mudança significativa). Já a mesma variação em x, \Delta x=0,01, dá \Delta f\approx t\,\Delta x=3\cdot 0,01=0,03 (praticamente desprezível). Isso ilustra concretamente por que t domina a suscetibilidade.