Uma cobertura de um auditório foi projetada seguindo a superfície de um paraboloide elíptico dado por
(medidas em metros). Um engenheiro precisa instalar um sensor de vibração no ponto
. Qual é a equação do plano tangente à cobertura nesse ponto?
Por que preciso calcular o plano tangente?
- Nivelamento da Instalação: O sensor de vibração precisa de uma base plana para ser fixado. Como a cobertura é curva (um paraboloide), você não pode simplesmente "colálo"de qualquer jeito. O plano tangente no ponto
indica exatamente qual é a inclinação da face da estrutura naquele ponto.Se o plano for muito inclinado, você precisará projetar um suporte em "cunha"para compensar a curvatura e deixar o sensor nivelado com o horizonte.
- Decomposição de Forças (Cargas)O peso do sensor e as forças externas (como vento ou acúmulo de água) atuam em direções específicas.O plano tangente permite que você calcule as componentes normal (perpendicular) e tangencial (paralela) dessas forças.Isso é vital para saber se o sensor pode "escorregar"ou se a pressão exercida sobre a casca de concreto pode causar uma fissura local.
Passo 1
O enunciado dá a superfície da cobertura por
(metros) e indica o ponto na projeção sobre o plano
onde o sensor será instalado:
.
O que se pede: encontrar a equação do plano tangente à superfície naquele ponto (ou seja, o plano que melhor aproxima a superfície perto de ).
Informações relevantes dadas:
O que se pede: encontrar a equação do plano tangente à superfície naquele ponto (ou seja, o plano que melhor aproxima a superfície perto de
Informações relevantes dadas:
- A função altura:
. - As coordenadas do ponto em
: e .
Observação importante: como só foi dada a projeçãono plano , será preciso calcular a altura para obter o ponto de contato completo .
Passo 2
Fórmula do plano tangente e significado das derivadas parciais.
Se é uma superfície diferenciável, o plano tangente em
é dado por
Se
Explicando cada termo:
-
é a altura da superfície no ponto de interesse. -
é a derivada parcial em : informa a inclinação da superfície na direção dos incrementos de (ou seja, quanto muda por unidade de mantendo fixo). -
é a derivada parcial em : informa a inclinação na direção do eixo .
Intuição prática: o plano tangente é a melhor aproximação linear da superfície perto do ponto; as derivadas parciais são “declives” nas direçõese .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais simbólicas de
.
Derivando em relação a (tratando
como constante):
Derivando em relação a
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Comentário rápido: a regra usada foi
. Aqui
em
dá
.
Passo 4
Avaliar as derivadas no ponto
.
Interpretação numérica: se eu me deslocar 1 metro na direção positiva de
(mantendo
fixo), a superfície desce cerca de
m naquele ponto; se me deslocar 1 metro em
, desce
m.
Passo 5
Calcular
passo a passo (para obter o ponto tridimensional de contato).
Primeiro os quadrados:
Primeiro os quadrados:
Agora os produtos com os coeficientes:
Finalmente
Portanto o ponto na superfície é
, ou seja
.
Passo 6
Substituir na fórmula do plano tangente. Usando a fórmula do Passo 2 com os valores calculados:
Essa é a forma ponto-inclinação do plano tangente. Ela já diz: partindo da altura local
, para um desvio em
multiplica-se por
e para desvio em
por
.
Passo 7
Opcional: expandir e organizar numa forma linear mais direta (forma explícita
ou forma padrão). Expandindo e somando constantes:
Calcule os termos constantes ao expandir:
Calcule os termos constantes ao expandir:
Somando tudo:
logo a forma simplificada é
Também podemos escrever a forma padrão (rearranjada):
Passo 8
Interpretação prática e uso rápido (para te ajudar na prova e no canteiro):
- O vetor normal ao plano tangente é
. Esse vetor é útil para decompor forças: por exemplo, a componente normal de uma carga é obtida projetando a força nesse vetor unitário. - Para nivelar o sensor: se queres que a base do sensor fique horizontal (plano
constante), a diferença de altura entre o ponto de fixação e um vizinho a 1 m em é cerca de m (muito), o que indica que será necessário um suporte/ajuste significativo. Esses números (declives) mandam o design do suporte em cunha.
Força extra de ânimo: sei que esse cálculo parece chato quando falta tempo, mas a receita é sempre a mesma: derivadas parciais -> avaliar -> aplicar a fórmula do plano.