Uma cobertura de um auditório foi projetada seguindo a superfície de um paraboloide elíptico dado por z=20-0,05 x^{2}-0,1 y^{2} (medidas em metros). Um engenheiro precisa instalar um sensor de vibração no ponto P(10.5,12.5). Qual é a equação do plano tangente à cobertura nesse ponto?
Por que preciso calcular o plano tangente?
  1. Nivelamento da Instalação: O sensor de vibração precisa de uma base plana para ser fixado. Como a cobertura é curva (um paraboloide), você não pode simplesmente "colálo"de qualquer jeito. O plano tangente no ponto P(10,5,12.5) indica exatamente qual é a inclinação da face da estrutura naquele ponto.Se o plano for muito inclinado, você precisará projetar um suporte em "cunha"para compensar a curvatura e deixar o sensor nivelado com o horizonte.
  2. Decomposição de Forças (Cargas)O peso do sensor e as forças externas (como vento ou acúmulo de água) atuam em direções específicas.O plano tangente permite que você calcule as componentes normal (perpendicular) e tangencial (paralela) dessas forças.Isso é vital para saber se o sensor pode "escorregar"ou se a pressão exercida sobre a casca de concreto pode causar uma fissura local.

Passo 1

O enunciado dá a superfície da cobertura por z=20-0,05x^{2}-0,1y^{2} (metros) e indica o ponto na projeção sobre o plano xy onde o sensor será instalado: P(10,5,\,12,5).
O que se pede: encontrar a equação do plano tangente à superfície naquele ponto (ou seja, o plano que melhor aproxima a superfície perto de P).
Informações relevantes dadas:
  • A função altura: z=f(x,y)=20-0,05x^{2}-0,1y^{2}.
  • As coordenadas do ponto em xy: x_{0}=10,5 e y_{0}=12,5.
    Observação importante: como só foi dada a projeção P(10,5,\,12,5) no plano xy, será preciso calcular a altura z_{0}=f(x_{0},y_{0}) para obter o ponto de contato completo (x_{0},y_{0},z_{0}).

Passo 2

Fórmula do plano tangente e significado das derivadas parciais.
Se z=f(x,y) é uma superfície diferenciável, o plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0}) é dado por
z = z_{0} + f_{x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0}) + f_{y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).
Explicando cada termo:
  • z_{0}=f(x_{0},y_{0}) é a altura da superfície no ponto de interesse.
  • f_{x}(x_{0},y_{0}) é a derivada parcial em x: informa a inclinação da superfície na direção dos incrementos de x (ou seja, quanto z muda por unidade de x mantendo y fixo).
  • f_{y}(x_{0},y_{0}) é a derivada parcial em y: informa a inclinação na direção do eixo y.
    Intuição prática: o plano tangente é a melhor aproximação linear da superfície perto do ponto; as derivadas parciais são “declives” nas direções x e y.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais simbólicas de f(x,y)=20-0,05x^{2}-0,1y^{2}.
Derivando em relação a x (tratando y como constante):
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(20-0,05x^{2}-0,1y^{2}\bigr)=-0,1x.
Derivando em relação a y (tratando x como constante):
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(20-0,05x^{2}-0,1y^{2}\bigr)=-0,2y.
Comentário rápido: a regra usada foi \dfrac{d}{dx}(ax^{2})=2ax. Aqui a=-0,05 em x^{2} 2(-0,05)x=-0,1x.

Passo 4

Avaliar as derivadas no ponto (x_{0},y_{0})=(10,5,\,12,5).
f_{x}(10,5,\,12,5)=-0,1\cdot10,5=-1,05.
f_{y}(10,5,\,12,5)=-0,2\cdot12,5=-2,5.
Interpretação numérica: se eu me deslocar 1 metro na direção positiva de x (mantendo y fixo), a superfície desce cerca de 1,05 m naquele ponto; se me deslocar 1 metro em y, desce 2,5 m.

Passo 5

Calcular z_{0}=f(10,5,\,12,5) passo a passo (para obter o ponto tridimensional de contato).
Primeiro os quadrados:
10,5^{2}=110,25,\qquad 12,5^{2}=156,25.
Agora os produtos com os coeficientes:
0,05\cdot110,25=5,5125,\qquad 0,1\cdot156,25=15,625.
Finalmente
z_{0}=20-5,5125-15,625=20-21,1375=-1,1375.
Portanto o ponto na superfície é (10,5,\,12,5,\,-1,1375), ou seja (x_{0},y_{0},z_{0})=(10,5,\,12,5,\,-1,1375).

Passo 6

Substituir na fórmula do plano tangente. Usando a fórmula do Passo 2 com os valores calculados:
z = -1,1375 + (-1,05)\,(x-10,5) + (-2,5)\,(y-12,5).
Essa é a forma ponto-inclinação do plano tangente. Ela já diz: partindo da altura local -1,1375, para um desvio em x multiplica-se por -1,05 e para desvio em y por -2,5.

Passo 7

Opcional: expandir e organizar numa forma linear mais direta (forma explícita z=\dots ou forma padrão). Expandindo e somando constantes:
Calcule os termos constantes ao expandir:
-1,05\cdot(-10,5)=11,025,\qquad -2,5\cdot(-12,5)=31,25.
Somando tudo:
z = -1,1375 -1,05x +11,025 -2,5y +31,25.
z = -1,05x -2,5y +(-1,1375+11,025+31,25).
-1,1375+11,025+31,25=41,1375,
logo a forma simplificada é
z = -1,05x -2,5y +41,1375.
Também podemos escrever a forma padrão (rearranjada):
1,05x +2,5y + z -41,1375=0.

Passo 8

Interpretação prática e uso rápido (para te ajudar na prova e no canteiro):
  • O vetor normal ao plano tangente é \mathbf{n}=(f_{x}(x_{0},y_{0}),\,f_{y}(x_{0},y_{0}),\,-1)=(-1,05,\,-2,5,\,-1). Esse vetor é útil para decompor forças: por exemplo, a componente normal de uma carga é obtida projetando a força nesse vetor unitário.
  • Para nivelar o sensor: se queres que a base do sensor fique horizontal (plano z= constante), a diferença de altura entre o ponto de fixação e um vizinho a 1 m em x é cerca de -1,05 m (muito), o que indica que será necessário um suporte/ajuste significativo. Esses números (declives) mandam o design do suporte em cunha.
    Força extra de ânimo: sei que esse cálculo parece chato quando falta tempo, mas a receita é sempre a mesma: derivadas parciais -> avaliar -> aplicar a fórmula do plano.

Resposta

z = -1,05x -2,5y +41,1375

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