Analise a estabilidade dos sistemas de controle associados às seguintes equações características.
s^5+2 s^4+3 s^3+6 s^2+5 s+3=0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente analisar se o polinômio
s^5 + 2s^4 + 3s^3 + 6s^2 + 5s + 3 = 0
gera um sistema estável ou instável.
Conteúdo: Critério de Routh–Hurwitz.
O que vamos usar:
1. Montar a tabela de Routh a partir dos coeficientes.
2. Verificar o sinal dos elementos da primeira coluna.
3. Contar quantas vezes o sinal muda (cada mudança = um pólo no semiplano direito).

Passo 2

Primeiro, escrevemos as duas primeiras linhas da tabela de Routh com os coeficientes do polinômio:
Linha c|ccc s^5 & 1 & 3 & 5 : elementos são os coeficientes de grau ímpar começando em 5.
c|ccc s^4 & 2 & 6 & 3
Linha : elementos são os coeficientes de grau par começando em 4.

Passo 3

Agora calculamos a linha a = (2)(3) - (1)(6)2 = 6 - 62 = 0 .
A fórmula geral para o primeiro elemento é
b = (2)(5) - (1)(3)2 = 10 - 32 = tfrac72 = 3,5
e para o segundo elemento
c|cc s^3 & 0 & 3,5
Então, antes de lidar com o zero na primeira coluna, teríamos

Passo 4

Quando o primeiro elemento de uma linha é zero, a gente substitui por um c|cc s^3 & varepsilon & 3,5 (um valor positivo infinitesimal) só pra poder continuar computando sem divisão por zero. Então tomamos

Passo 5

Com isso, montamos a linha c = varepsiloncdot 6 - 2cdot 3,5varepsilon = 6varepsilon - 7varepsilon = 6 - 7varepsilon . O primeiro elemento é
d = varepsiloncdot 3 - 2cdot 0varepsilon = 3
Como c|cc s^2 & -,infty & 3 , , então fica NEGATIVO “gigante”.
O segundo elemento é
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Passo 6

Agora a linha e = (-!infty)cdot 3,5 - varepsiloncdot 3-!infty = -infty-infty = +infty . Usamos a mesma fórmula entre c|cc s^1 & +infty & 0 e c|c s^0 & 3;(positivo) :
  • Primeiro elemento
(sinal positivo).
  • Segundo elemento é zero (não interessa pra contagem de sinais).
E, por fim, linha só repete o termo constante do polinômio:

Passo 7

Vamos à primeira coluna completa e seus sinais:


(positivo)
(negativo)
(positivo)
Contando as mudanças de sinal de cima para baixo:
  1. de (em ) para (em ) → 1 mudança
  2. de (em ) para (em ) → 2ª mudança
Não há outras mudanças. Então temos 2 mudanças de sinal.

Resposta

Como há 2 mudanças de sinal na primeira coluna da tabela de Routh, o polinômio tem 2 pólos no semiplano direito e, portanto, o sistema é instável.

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