Analise a estabilidade dos sistemas de controle associados às seguintes equações características.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente analisar se o polinômio
gera um sistema estável ou instável.
Conteúdo: Critério de Routh–Hurwitz.
O que vamos usar:
1. Montar a tabela de Routh a partir dos coeficientes.
2. Verificar o sinal dos elementos da primeira coluna.
3. Contar quantas vezes o sinal muda (cada mudança = um pólo no semiplano direito).
Passo 2
Primeiro, escrevemos as duas primeiras linhas da tabela de Routh com os coeficientes do polinômio:
Linha
: elementos são os coeficientes de grau ímpar começando em 5.
Linha
: elementos são os coeficientes de grau par começando em 4.
Passo 3
Agora calculamos a linha
.
A fórmula geral para o primeiro elemento é
A fórmula geral para o primeiro elemento é
e para o segundo elemento
Então, antes de lidar com o zero na primeira coluna, teríamos
Passo 4
Quando o primeiro elemento de uma linha é zero, a gente substitui por um
(um valor positivo infinitesimal) só pra poder continuar computando sem divisão por zero. Então tomamos
Passo 5
Com isso, montamos a linha
. O primeiro elemento é
Como
,
, então
fica NEGATIVO “gigante”.
O segundo elemento é
O segundo elemento é
Logo
Passo 6
Agora a linha
. Usamos a mesma fórmula entre
e
:
- Primeiro elemento
(sinal positivo).
- Segundo elemento é zero (não interessa pra contagem de sinais).
E, por fim, linha
só repete o termo constante do polinômio:
Passo 7
Vamos à primeira coluna completa e seus sinais:
(positivo)
(negativo)
(positivo)
Contando as mudanças de sinal de cima para baixo:
- de
(em ) para (em ) → 1 mudança - de
(em ) para (em ) → 2ª mudança
Não há outras mudanças. Então temos 2 mudanças de sinal.
Resposta
Como há 2 mudanças de sinal na primeira coluna da tabela de Routh, o polinômio tem 2 pólos no semiplano direito e, portanto, o sistema é instável.