Calcule F(s) dado f(t)
f(t)=t e^-a t

Passo 1

Beleza, então o enunciado é: “Calcule , a transformada de Laplace de .” A matéria aqui é Transformada de Laplace e pra resolver vamos precisar:
  • Definição da transformada de Laplace.
  • Entender como integrar uma função tipo .
  • Usar integração por partes ou a fórmula prontinha de .

Passo 2

Primeiro a definição:
F(s) ;=; Lf(t) ;=; integral0^infty f(t),e^-s t,dt
No nosso caso, F(s) ;=; integral0^infty l(t,e^-a tr),e^-s t,dt , então a gente vai ter

Passo 3

Juntando os exponenciais dá:
t,e^-a t,e^-s t ;=; t,e^-(s + a),t
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F(s) ;=; integral0^infty t,e^-(s + a),t,dt
Agora só falta resolver essa integral.

Passo 4

Pra resolver integral0^infty t,e^-b t,dt ;=;1b^2 (onde integral0^infty t,e^-b t,dt = l -tbe^-b tr|0^infty + integral0^infty 1be^-b t,dt = 0 + 1bcdot1b = 1b^2 e ), a gente pode usar integração por partes ou lembrar da fórmula pronta:
Se quiser ver rapidinho integração por partes:
  • Escolhe e .
  • Então e .
  • Aplicando:

Passo 5

Então, trocando F(s) ;=; 1(s + a)^2 por , a nossa transformada é

Resposta

boxedF(s) = 1(s + a)^2

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