Determine o intervalo de valores do ganho
das seguintes equações características, de maneira que o sistema de controle associado seja assintoticamente estável.
Passo 1
Então, o exercício diz: “Determine para quais valores de
o polinômio
gera um sistema assintoticamente estável.”
Conteúdo: Critério de Routh–Hurwitz.
O que vamos precisar: montar a tabela de Routh e exigir que todos os elementos da primeira coluna sejam positivos (essa é a condição de estabilidade).
Conteúdo: Critério de Routh–Hurwitz.
O que vamos precisar: montar a tabela de Routh e exigir que todos os elementos da primeira coluna sejam positivos (essa é a condição de estabilidade).
Passo 2
Primeiro, listamos os coeficientes do polinômio:
s⁴: 1, s³: , s²: 1, s¹: 1, s⁰: 1.
Agora montamos a tabela de Routh:
s⁴: 1, s³:
Agora montamos a tabela de Routh:
Na primeira coluna, temos:
-
-linha → 1 -
-linha → -
-linha → -
-linha → -
-linha → 1
Passo 3
Para estabilidade, TODAS essas entradas devem ser positivas:
-
: ok sempre. -
. -
. - Como
, o sinal vem de , logo .
- Como
-
. - Note que
para todo real (discriminante negativo). - Se
, então , o denominador é positivo, mas o numerador tem o “(-)\” à frente, ficando negativo → não dá para ser >0. - Se
, então o passo (3) já falha porque .
- Note que
Conclusão: não há valor de
que satisfaça todas as condições ao mesmo tempo.
Resposta
Não existe nenhum
que torne o sistema assintoticamente estável.