Determine o intervalo de valores do ganho K das seguintes equações características, de maneira que o sistema de controle associado seja assintoticamente estável.
s^4+K s^3+s^2+s+1=0

Passo 1

Então, o exercício diz: “Determine para quais valores de s^4 + K,s^3 + s^2 + s + 1 = 0 o polinômio
gera um sistema assintoticamente estável.”
Conteúdo: Critério de Routh–Hurwitz.
O que vamos precisar: montar a tabela de Routh e exigir que todos os elementos da primeira coluna sejam positivos (essa é a condição de estabilidade).

Passo 2

Primeiro, listamos os coeficientes do polinômio:
s⁴: 1, s³: c|ccc s^4 & 1 & 1 & 1[6pt] s^3 & K & 1 & 0[6pt] s^2 & Kcdot1 - 1cdot1K & Kcdot1 - 0cdot1K & [10pt] & K-1K & 1 & [6pt] s^1 & K-1K,cdot 1 - Kcdot 1K-1K & 0 & [10pt] & -,K^2 - K + 1,K-1, & [6pt] s^0 & 1 & & , s²: 1, s¹: 1, s⁰: 1.
Agora montamos a tabela de Routh:
Na primeira coluna, temos:
  1. -linha → 1
  2. -linha →
  3. -linha →
  4. -linha →
  5. -linha → 1

Passo 3

Para estabilidade, TODAS essas entradas devem ser positivas:
  1. : ok sempre.
  2. .
  3. .
    • Como , o sinal vem de , logo .
  4. .
    • Note que para todo real (discriminante negativo).
    • Se , então , o denominador é positivo, mas o numerador tem o “(-)\” à frente, ficando negativo → não dá para ser >0.
    • Se , então o passo (3) já falha porque .
Conclusão: não há valor de que satisfaça todas as condições ao mesmo tempo.

Resposta

Não existe nenhum que torne o sistema assintoticamente estável.

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