Determine o intervalo de valores do ganho K das seguintes equações características, de maneira que o sistema de controle associado seja assintoticamente estável.
s^4+2 s^3+(4+K) s^2+9 s+25=0

Passo 1

Beleza, vamos lá!
Enunciado resumido: queremos achar para quais valores de s^4 + 2s^3 + (4+K)s^2 + 9s + 25 = 0 todos os pólos da equação característica
ficam com parte real negativa (ou seja, o sistema é assintoticamente estável).
Conteúdo: critério de estabilidade de Routh–Hurwitz.
O que a gente precisa: montar a tabela de Routh e exigir que todos os elementos da primeira coluna sejam positivos.

Passo 2

Primeiro, lembrando a teoria rapidinho: o critério de Routh diz que, para um polinômio de ordem , você monta uma tabela e exige que cada elemento da primeira coluna seja > 0. Se alguma dessas entradas for ≤ 0, o sistema tem pólos com parte real ≥ 0.

Passo 3

Vamos montar a tabela de Routh para
s^4 + 2s^3 + (4+K)s^2 + 9s + 25 = 0
Escrevendo as linhas:
c|ccc s^4 & 1 & 4+K & 25 [6pt] s^3 & 2 & 9 & 0 [6pt] s^2 & a = dfrac2(4+K)-1cdot92 & 25 & [8pt] s^1 & b = dfracacdot9 - 2cdot25a & 0 & [8pt] s^0 & 25 & &
Calculemos a = 2(4+K)-92 = 8 + 2K - 92 = 2K - 12 primeiro:
b = l(tfrac2K-12r)cdot9 - 50tfrac2K-12 = 9(2K-1)/2 - 50(2K-1)/2 = 9(2K-1) - 1002K-1 = 18K - 1092K - 1
Agora :

Passo 4

Para estabilidade, todos da primeira coluna > 0, ou seja:
  1. 18K - 1092K - 1 > 0, — ok sempre.
  2. — ok sempre.
  3. — ok sempre.
Então a única coisa que falta é resolver
mas lembrando que já precisamos (ou seja ).

Passo 5

Com 18K - 109 > 0 ;Longrightarrow; K > 10918 approx 6,0556 , o denominador já é positivo. Para a fração ser > 0, o numerador também tem que ser > 0:
Isso já garante automaticamente.

Resposta

O sistema é assintoticamente estável se, e só se,
boxedK > 10918

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