Determine o intervalo de valores do ganho
das seguintes equações características, de maneira que o sistema de controle associado seja assintoticamente estável.
Passo 1
Beleza, vamos lá!
Enunciado resumido: queremos achar para quais valores de todos os pólos da equação característica
Enunciado resumido: queremos achar para quais valores de
ficam com parte real negativa (ou seja, o sistema é assintoticamente estável).
Conteúdo: critério de estabilidade de Routh–Hurwitz.
O que a gente precisa: montar a tabela de Routh e exigir que todos os elementos da primeira coluna sejam positivos.
Conteúdo: critério de estabilidade de Routh–Hurwitz.
O que a gente precisa: montar a tabela de Routh e exigir que todos os elementos da primeira coluna sejam positivos.
Passo 2
Primeiro, lembrando a teoria rapidinho: o critério de Routh diz que, para um polinômio de ordem
, você monta uma tabela e exige que cada elemento da primeira coluna seja > 0. Se alguma dessas entradas for ≤ 0, o sistema tem pólos com parte real ≥ 0.
Passo 3
Vamos montar a tabela de Routh para
Escrevendo as linhas:
Calculemos
primeiro:
Agora
:
Passo 4
Para estabilidade, todos da primeira coluna > 0, ou seja:
-
— ok sempre. -
— ok sempre. -
-
-
— ok sempre.
Então a única coisa que falta é resolver
mas lembrando que já precisamos
(ou seja
).
Passo 5
Com
, o denominador
já é positivo. Para a fração ser > 0, o numerador também tem que ser > 0:
Isso já garante
automaticamente.
Resposta
O sistema é assintoticamente estável se, e só se,