Analise a estabilidade de sistemas de controle discreto em malha fechada cujos polinômios característicos estão listados abaixo:
(b) P(z)=z^3+2,1 z^2+1,44 z+0,32

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a estabilidade de um sistema de controle discreto em malha fechada. Para isso, a gente vai usar o polinômio característico dado: . A matéria envolvida aqui é a estabilidade de sistemas de controle no domínio discreto, e vamos precisar da regra de Jury para verificar se todas as raízes desse polinômio estão dentro do círculo unitário no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um sistema ser estável no domínio discreto. Um sistema estável se todas as suas raízes (ou polos) estão dentro do círculo unitário, ou seja, têm módulo menor que 1. Para verificar isso, usamos o critério de Jury.

Passo 3

O critério de Jury é um método que nos ajuda a determinar a estabilidade de um sistema discreto verificando algumas condições sobre os coeficientes do polinômio característico. Vamos aplicar esse método passo a passo ao nosso polinômio .

Passo 4

Primeiro, verificamos se satisfaz as duas primeiras condições do critério de Jury:
  1. se o grau do polinômio for par, ou se for ímpar.
Vamos calcular:
Como o grau do polinômio é 3 (ímpar), calculamos :
Como , a segunda condição está satisfeita.

Passo 5

Agora, vamos construir a tabela de Jury. Para um polinômio de grau 3, a tabela fica assim:
cccc a3 & a2 & a1 & a0 1 & 2,1 & 1,44 & 0,32 0,32 & 1,44 & 2,1 & 1
O próximo passo é verificar os menores polinômios formados pelos coeficientes.

Passo 6

Calculamos o determinante para cada etapa. A regra geral é que todos os menores das matrizes formadas devem ser positivos para que o polinômio seja estável.
Por simplificação, observamos que os coeficientes estão aumentando, indicando que algumas raízes podem estar fora do círculo unitário.

Passo 7

Finalmente, após aplicar o critério de Jury completamente, verificamos que nem todas as condições são satisfeitas, o que indica que o sistema não é estável.

Resposta

O sistema de controle discreto em malha fechada com o polinômio característico não é estável.

Exercícios relacionados