Obtenha a função de transferência G(z)=Y(z) / X(z) e a sua respectiva sequência temporal g(k) das seguintes equações a diferenças:
(a) y(k)-a y(k-1)=x(k)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Dada a equação a diferenças
y(k) - a,y(k-1) = x(k),,
(a) obtenha a função de transferência e (b) sua sequência temporal .
O conteúdo aqui é Transformada de Z e sistemas LTI em tempo discreto. Vamos precisar:
- Conhecer a definição de Transformada de Z de e ;
- Usar a propriedade de deslocamento (time-shift) na Z-transformada;
- Assumir condições iniciais nulas (sistema em repouso).

Passo 2

Aplicando a Transformada de Z em cada termo (e assumindo Y(z) - a,l(z^-1Y(z)r) ;=; X(z) para Y(z),l(1 - a,z^-1r) ;=; X(z) Longrightarrow Y(z)X(z) ;=; 11 - a,z^-1 ), temos
  1. G(z);=;Y(z)X(z) ;=;11 - a,z^-1 ;=;zz - a .
  2. (propriedade de deslocamento).
  3. .
Então a equação vira
Agrupando :
Podemos também escrever isso em forma mais comum:

Passo 3

Agora, para achar Za^k,u(k) ;=;sumk=0^infty a^k z^-k ;=;11 - a,z^-1, , a resposta ao impulso, fazemos a inversa da transformada.
Sabendo que
g(k) = a^kpara k>=0,
vemos que nossa bate exatamente com essa série geométrica. Logo
onde é a função degrau discreta (mas como a gente só se preocupa com , às vezes nem precisa escrever o ).

Resposta

G(z) = ,
e
g(k) = para .

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