Considere que a FTP G(z)=K z-1z^2-0,9 z+0,08 esteja submetida a um sistema de malha fechada com realimentação unitária. Obtenha o intervalo de valores para o ganho de malha aberta K>0 tal que o sistema seja considerado estável.

Passo 1

Então, a questão diz o seguinte: a transferência em malha aberta é
G(z) = K,z-1z^2 - 0,9,z + 0,08
e ela vai pra um sistema de realimentação unitária. A gente precisa achar para quais valores positivos de K a malha fechada fica estável.
Conteúdo: estabilidade de sistemas discretos (polinômio característico em z) e Critério de Jury.
O que vamos usar:
  1. Montar o polinômio característico da malha fechada.
  2. Aplicar o Critério de Jury (que dá condições em termos de desigualdades).

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função de transferência em malha fechada:
T(z) = G(z)1 + G(z)
A estabilidade depende das raízes do denominador de T(z), ou seja da equação
1 + G(z) = 0
Substituindo G(z):
1 + K,z-1z^2 - 0,9z + 0,08 = 0
Multiplicando tudo por z^2 - 0,9z + 0,08 dá o polinômio característico:
z^2 - 0,9z + 0,08 + K,(z-1) = 0
Organizando em potência de z:
z^2 + (K - 0,9),z + (0,08 - K) = 0

Passo 3

Hora do Critério de Jury pra segundo grau. Para o polinômio
P(z) = z^2 + a1,z + a2
ele é estável (todas as raízes dentro do círculo unitário) se, simultaneamente, valem:
1) P(1)>0, ou seja 1 + a1 + a2 > 0.
2) P(-1)>0, ou seja 1 - a1 + a2 > 0.
3) |a2| < 1.
No nosso caso,
a1 = K - 0,9, a2 = 0,08 - K

Passo 4

Agora aplicamos as três condições:
  1. 1 + a1 + a2 > 0
    Substituindo:
    1 + (K - 0,9) + (0,08 - K) = 1 - 0,9 + 0,08 = 0,18 > 0
    Isso é verdade para qualquer K. Sem restrição.
  2. 1 - a1 + a2 > 0
    1 - (K - 0,9) + (0,08 - K) = 1 - K + 0,9 + 0,08 - K = 1,98 - 2K > 0
    implies 2K < 1,98 Longrightarrow K < 0,99
  3. |a2| < 1, isto é |0,08 - K| < 1.
    Isso gera duas desigualdades:
    a) 0,08 - K < 1 implies -K < 0,92 implies K > -0,92 (sempre OK já que K>0).
    b) 0,08 - K > -1 implies -K > -1,08 implies K < 1,08
    Então dessa condição sai K < 1,08, que não é mais forte que K<0,99.
Juntando tudo e lembrando K>0, a única restrição relevante é
0 < K < 0,99

Resposta

O sistema em malha fechada fica estável para
boxed0 < K < 0,99

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