Obtenha a transformada mathscrZ dos sinais e sequências a seguir, para k in N :
(b) x(k)=1,0,0,1,1,0,1,1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a transformada mathscrZ de uma sequência específica, que é x(k)=1,0,0,1,1,0,1,1 para k in N. A matéria envolvida aqui é a Transformada Z, que é uma ferramenta poderosa na análise de sinais e sistemas discretos. Para resolver, vamos precisar entender a definição da Transformada Z e aplicar essa definição passo a passo na sequência dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada Z. Ela transforma uma sequência no tempo discreto x(k) em uma função no domínio da frequência complexa X(z). A fórmula básica da Transformada Z é:
X(z) = sumk=0^infty x(k) z^-k
No nosso caso, a sequência x(k) tem apenas 8 elementos, ou seja, x(k) = 0 para k >= 8. Então, podemos simplificar a soma de k=0 a k=7.

Passo 3

Vamos listar os valores de x(k) com seus respectivos índices k:
c|c k & x(k) hline 0 & 1 1 & 0 2 & 0 3 & 1 4 & 1 5 & 0 6 & 1 7 & 1

Passo 4

Agora, aplicando a definição da Transformada Z, substituímos cada x(k) na soma:
X(z) = x(0) z^0 + x(1) z^-1 + x(2) z^-2 + x(3) z^-3 + x(4) z^-4 + x(5) z^-5 + x(6) z^-6 + x(7) z^-7

Passo 5

Substituindo os valores de x(k) na expressão:
X(z) = 1 cdot z^0 + 0 cdot z^-1 + 0 cdot z^-2 + 1 cdot z^-3 + 1 cdot z^-4 + 0 cdot z^-5 + 1 cdot z^-6 + 1 cdot z^-7

Passo 6

Simplificando os termos que multiplicam por zero:
X(z) = z^0 + z^-3 + z^-4 + z^-6 + z^-7
Como z^0 = 1, podemos escrever:
X(z) = 1 + z^-3 + z^-4 + z^-6 + z^-7

Resposta

A transformada mathscrZ da sequência x(k)=1,0,0,1,1,0,1,1 é:
X(z) = 1 + z^-3 + z^-4 + z^-6 + z^-7

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