Analise a estabilidade dos sistemas indicados abaixo usando o método do lugar das raízes.
a)
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Passo 1
Beleza, então temos que analisar a estabilidade de um sistema em malha fechada usando Lugar das Raízes (Root Locus). O enunciado diz que a função de transferência em malha aberta é
A matéria aqui é Lugar das Raízes e estabilidade de sistemas de controle. Vamos precisar:
- Identificar polos e zeros de
. - Montar a equação característica
. - Ver onde os pólos em malha fechada ficam (se no semiplano esquerdo ou direito) conforme mexemos em
.
Passo 2
Primeiro, vamos achar polos e zeros de
.
- Zeros finitos: nenhum, porque o numerador é só uma constante
. - Polos: soluções de
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Repara que ambos estão no semiplano direito (
).
Passo 3
No Lugar das Raízes:
- Temos 2 polos em
. - Não temos zeros finitos, então cada ramo do locus “vai para o infinito” seguindo as assíntotas.
- Número de assíntotas = polos – zeros = 2.
- Centro das assíntotas
- Ângulos das assíntotas =
, ou seja +90° e –90°.
Isso significa que os ramos saem dos polos no RHP e seguem verticalmente para cima/baixo a partir de
. Nunca entram no semiplano esquerdo.
Passo 4
Como o Lugar das Raízes inteiro fica no semiplano direito (parte real dos polos sempre positiva), o sistema em malha fechada vai ter polos com
para qualquer ganho
. Logo, o sistema é sempre instável.
Resposta
O sistema em malha fechada é instável para todo
, pois todos os polos permanecem com parte real positiva no semiplano direito.