Analise a estabilidade dos sistemas indicados abaixo usando o método do lugar das raízes.
a) GM F(s)=215 s^2-4 s+1

Passo 1

Beleza, então temos que analisar a estabilidade de um sistema em malha fechada usando Lugar das Raízes (Root Locus). O enunciado diz que a função de transferência em malha aberta é
GMF(s)=215s^2-4s+1
A matéria aqui é Lugar das Raízes e estabilidade de sistemas de controle. Vamos precisar:
  1. Identificar polos e zeros de .
  2. Montar a equação característica .
  3. Ver onde os pólos em malha fechada ficam (se no semiplano esquerdo ou direito) conforme mexemos em .

Passo 2

Primeiro, vamos achar polos e zeros de 15s^2 -4s +1 =0.
  • Zeros finitos: nenhum, porque o numerador é só uma constante s = 4 pm raiz(-4)^2 -4cdot15cdot12cdot15 = 4 pm raiz16 -6030 = 4 pm jraiz4430 = 0,1333 pm j,0,3494 .
  • Polos: soluções de
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Repara que ambos estão no semiplano direito ( ).

Passo 3

No Lugar das Raízes:
  • Temos 2 polos em .
  • Não temos zeros finitos, então cada ramo do locus “vai para o infinito” seguindo as assíntotas.
  • Número de assíntotas = polos – zeros = 2.
  • Centro das assíntotas
  • Ângulos das assíntotas = , ou seja +90° e –90°.
Isso significa que os ramos saem dos polos no RHP e seguem verticalmente para cima/baixo a partir de . Nunca entram no semiplano esquerdo.

Passo 4

Como o Lugar das Raízes inteiro fica no semiplano direito (parte real dos polos sempre positiva), o sistema em malha fechada vai ter polos com para qualquer ganho . Logo, o sistema é sempre instável.

Resposta

O sistema em malha fechada é instável para todo , pois todos os polos permanecem com parte real positiva no semiplano direito.

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