Um míssil de alta performance para lançamento de um satélite tem um sistema com realimentação unitária com função de transferência G(s)=K(s^2+10)(s+2)(s^2-2)(s+10). Plote o LGR para K variando de zero a infinito.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um sistema de realimentação unitária cuja função de transferência em malha aberta é
G(s) = K,(s^2 + 10),(s + 2)(s^2 - 2),(s + 10)
O que a gente quer é traçar o LGR (locus das raízes) desse sistema, variando de 0 até .
Conteúdo: é LGR de sistemas lineares. Para isso vamos precisar:
  1. Encontrar polos e zeros de .
  2. Aplicar regras de quem aparece no eixo real.
  3. Ver onde as raízes saem e vão (zeros ou infinito).
  4. Esboçar o gráfico qualitativo.

Passo 2

Primeiro, vamos achar polos e zeros de :
  • Zeros: solução de , e de .
  • Polos: solução de , e de .
Então no plano temos:
• Polos em , , .
• Zeros em , , .

Passo 3

Regra do eixo real: em cada trecho do eixo real, o LGR existe se à direita do ponto teste houver número ímpar de polos+zeros.
  • Para : há 3 (ímpar) → ramo de LGR.
  • Entre e : há 3 (ímpar) → ramo.
  • Entre e : há 2 (par) → sem LGR.
  • Entre e : há 1 (ímpar) → ramo.
  • Para : há 0 (par) → sem ramo.
Logo temos ramos reais em , e .

Passo 4

Agora a galera dos ramos:
  1. O polo em conecta-se ao zero real em seguindo o trecho .
  2. Os polos em e estão num trecho real . Nesse intervalo ocorre um ponto de “breakaway” (aprox. em ), de onde o par de raízes parte simetricamente para o plano imaginário e vai terminar nos zeros e .
  3. O ramo em existe simetricamente, mas como temos um zero real a correspondendo ao polo , na prática esse segmento é o mesmo ramo indo de até .

Passo 5

Esboçando:
• No eixo real marcamos polos em (todos com “×”) e zero em (com “o”).
• Traçamos linha contínua de até .
• De a desenhamos um trecho que se afasta, encontra um breakaway perto de 0 e forma dois ramos que curvam em direção aos zeros imaginários em .

Resposta

O locus das raízes para é o esboço acima:
  • Um ramo real ligando o polo ao zero em .
  • Dois ramos que se encontram num breakaway em (entre e ) e seguem simetricamente até .

Exercícios relacionados