Um míssil de alta performance para lançamento de um satélite tem um sistema com realimentação unitária com função de transferência
. Plote o LGR para
variando de zero a infinito.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um sistema de realimentação unitária cuja função de transferência em malha aberta é
O que a gente quer é traçar o LGR (locus das raízes) desse sistema, variando
de 0 até
.
Conteúdo: é LGR de sistemas lineares. Para isso vamos precisar:
Conteúdo: é LGR de sistemas lineares. Para isso vamos precisar:
- Encontrar polos e zeros de
. - Aplicar regras de quem aparece no eixo real.
- Ver onde as raízes saem e vão (zeros ou infinito).
- Esboçar o gráfico qualitativo.
Passo 2
Primeiro, vamos achar polos e zeros de
:
- Zeros: solução de
dá , e de dá . - Polos: solução de
dá , e de dá .
Então no plano
temos:
• Polos em ,
,
.
• Zeros em ,
,
.
• Polos em
• Zeros em
Passo 3
Regra do eixo real: em cada trecho do eixo real, o LGR existe se à direita do ponto teste houver número ímpar de polos+zeros.
- Para
: há 3 (ímpar) → ramo de LGR. - Entre
e : há 3 (ímpar) → ramo. - Entre
e : há 2 (par) → sem LGR. - Entre
e : há 1 (ímpar) → ramo. - Para
: há 0 (par) → sem ramo.
Logo temos ramos reais em
,
e
.
Passo 4
Agora a galera dos ramos:
- O polo em
conecta-se ao zero real em seguindo o trecho . - Os polos em
e estão num trecho real . Nesse intervalo ocorre um ponto de “breakaway” (aprox. em ), de onde o par de raízes parte simetricamente para o plano imaginário e vai terminar nos zeros e . - O ramo em
existe simetricamente, mas como temos um zero real a correspondendo ao polo , na prática esse segmento é o mesmo ramo indo de até .
Passo 5
Esboçando:
• No eixo real marcamos polos em (todos com “×”) e zero em
(com “o”).
• Traçamos linha contínua de até
.
• De a
desenhamos um trecho que se afasta, encontra um breakaway perto de 0 e forma dois ramos que curvam em direção aos zeros imaginários em
.
• No eixo real marcamos polos em
• Traçamos linha contínua de
• De
Resposta
O locus das raízes para
é o esboço acima:
- Um ramo real ligando o polo
ao zero em . - Dois ramos que se encontram num breakaway em
(entre e ) e seguem simetricamente até .