Analise a estabilidade dos sistemas indicados abaixo usando o método do lugar das raízes.
b) GM F(s)=2 s+1s^2+s+1

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente analisar a estabilidade de um sistema em malha fechada pelo método do lugar das raízes (root locus). O sistema aberto é
GMF(s)=2s+1s^2+s+1
O que a gente precisa saber de teoria:
  • O lugar das raízes mostra como as raízes da equação característica mudam quando varia o ganho em realimentação unitária.
  • Pra isso a gente vai montar a equação característica , achar polos e zeros de , ver quantos ramos, pontos de saída/chegada, assimptotas e regiões no eixo real. Assim a gente determina se, pra , os polos fechados ficam todo na metade esquerda do plano (condição de estabilidade).

Passo 2

Equação característica e definição do root locus
Como é realimentação unitária, a característica é
1 + K,GMF(s)=0 ;Longrightarrow; 1 + K,2s+1s^2+s+1=0 ;Longrightarrow; s^2 + s +1 + K(2s+1)=0
Ou seja:
s^2 + (1+2K),s + (1+K)=0
O root locus é o conjunto de raízes desta equação quando varia de 0 a .

Passo 3

Localização de polos e zeros de s = -1pm jraiz1-42 = -tfrac12 pm j,tfracraiz32
  • Zeros são raízes de , logo .
  • Polos são raízes de :
Então temos dois polos complexos conjugados em e um zero real em .

Passo 4

Assimptotas e trechos no eixo real
  1. Número de ramos = número de polos = 2.
  2. Número de zeros finitos =1, então há sigmaA = sum(polos) - sum(zeros)2-1 = (-1) - (-0.5)1 = -0.5 assimptota que vai para infinito.
  3. Centro das assimptotas (centroid)
  1. Ângulo da única assimptota = (pois é ).
  2. Trecho no eixo real onde o locus existe: todos os pontos reais que tenham à direita um número ímpar de polos+zeros. Only for .
Resumo da forma do lugar das raízes:
  • Dois ramos saem dos polos em .
  • Para , um ramo vai terminar no zero em , o outro segue pela assimptota em indo para .
  • Em todo o caminho, eles ficam na metade esquerda do plano .

Passo 5

Conclusão sobre estabilidade
Como todos os polos fechados (raízes da característica) ficam sempre à esquerda do eixo imaginário para todo , o sistema em malha fechada é estável para qualquer ganho não-negativo.

Resposta

O sistema em malha fechada é estável para todo .

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