Analise a estabilidade dos sistemas indicados abaixo usando o método do lugar das raízes.
b)
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Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente analisar a estabilidade de um sistema em malha fechada pelo método do lugar das raízes (root locus). O sistema aberto é
O que a gente precisa saber de teoria:
- O lugar das raízes mostra como as raízes da equação característica mudam quando varia o ganho
em realimentação unitária. - Pra isso a gente vai montar a equação característica
, achar polos e zeros de , ver quantos ramos, pontos de saída/chegada, assimptotas e regiões no eixo real. Assim a gente determina se, pra , os polos fechados ficam todo na metade esquerda do plano (condição de estabilidade).
Passo 2
Equação característica e definição do root locus
Como é realimentação unitária, a característica é
Como é realimentação unitária, a característica é
Ou seja:
O root locus é o conjunto de raízes desta equação quando
varia de 0 a
.
Passo 3
Localização de polos e zeros de
- Zeros são raízes de
, logo . - Polos são raízes de
:
Então temos dois polos complexos conjugados em
e um zero real em
.
Passo 4
Assimptotas e trechos no eixo real
- Número de ramos = número de polos = 2.
- Número de zeros finitos =1, então há
assimptota que vai para infinito. - Centro das assimptotas (centroid)
- Ângulo da única assimptota =
(pois é ). - Trecho no eixo real onde o locus existe: todos os pontos reais que tenham à direita um número ímpar de polos+zeros. Only for
.
Resumo da forma do lugar das raízes:
- Dois ramos saem dos polos em
. - Para
, um ramo vai terminar no zero em , o outro segue pela assimptota em indo para . - Em todo o caminho, eles ficam na metade esquerda do plano
.
Passo 5
Conclusão sobre estabilidade
Como todos os polos fechados (raízes da característica) ficam sempre à esquerda do eixo imaginário para todo , o sistema em malha fechada é estável para qualquer ganho não-negativo.
Como todos os polos fechados (raízes da característica) ficam sempre à esquerda do eixo imaginário para todo
Resposta
O sistema em malha fechada é estável para todo
.