Analise a estabilidade dos sistemas indicados abaixo usando o método do lugar das raízes.
d) GM F(s)=-s+10,2 s^3+2 s^2+10 s+1

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é analisar a estabilidade do sistema em realimentação unitária cujo ganho de malha aberta é
GMF(s)=-s+10,2,s^3+2,s^2+10,s+1
O “método do lugar das raízes” nos mostra como as raízes do polinômio de malha fechada se movem quando a gente varia o ganho . Para saber se o sistema fica estável, precisamos ver para quais valores de todas essas raízes ficam com parte real negativa. Vamos montar o polinômio de malha fechada (1 + K·G(s) = 0) e usar o critério de Routh para encontrar a faixa de que garante estabilidade.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação característica de malha fechada:
1 + K,GMF(s)=0Rightarrow 1 + K;-s+10,2s^3+2s^2+10s+1=0
Multiplicando tudo pelo denominador:
0,2,s^3 ;+;2,s^2;+;10,s;+;1 ;+;K,(-s+1);=;0
Ou seja:
0,2,s^3 ;+;2,s^2 ;+;(10 - K),s ;+;(1 + K);=;0

Passo 3

Para ver quando todas as raízes têm parte real negativa, montamos a tabela de Routh para
0,2s^3 + 2s^2 + (10 - K)s + (1 + K) = 0
Dividimos tudo por s^3 + 10,s^2 + (50 - 5K),s + (5 + 5K) = 0 pra simplificar (fator comum não afeta sinais):
c|cc s^3 & 1 & 50 - 5Khline s^2 & 10 & 5 + 5Khline s^1 & 10(50 - 5K) - 1,(5 + 5K)10 & 0hline s^0 & 5 + 5K &
Tabela de Routh:
10(50 - 5K) - (5 + 5K)10 =500 - 50K -5 -5K10 =495 - 55K10 =49,5 - 5,5K
Calculando o elemento de :

Passo 4

Para estabilidade, todos os elementos da primeira coluna devem ser positivos:
  1. 0 < K < 9 – ok
  2. – ok
Como no lugar das raízes normalmente consideramos , a faixa que garante todas as raízes no semiplano esquerdo é

Resposta

O sistema em malha fechada é estável para
0 < K < 9

Exercícios relacionados