Analise a expressão abaixo:Analise a expressão abaixo:
y(x)=A e^{\wedge}(-k x)
Supondo a diferenciabilidade da expressão dada, podemos dizer que se trata do conjunto solução de
y^{\wedge \prime \prime}(x)=0
y^{\wedge \prime \prime}(x)=-y(x)
y^{\wedge \prime \prime}(x)=k^{\wedge} 2 y(x)
y^{\wedge \prime \prime}(x)=k y(x)
y^{\wedge \prime \prime}(x)=-3 y(x)

Passo 1

O enunciado nos dá a família de funções
y(x)=A\,e^{-k x}
e pergunta a que equação diferencial de segunda ordem homogênea essa família satisfaz. Vamos usar cálculo de derivadas sucessivas para descobrir a relação entre y'' e y.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada de y. Como
y(x)=A\,e^{-k x},
temos
y'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(A\,e^{-k x}\bigr) =A\cdot(-k)\,e^{-k x} =-k\,\bigl(A\,e^{-k x}\bigr) =-k\,y(x).

Passo 3

Agora derivamos uma segunda vez para obter y''. Partindo de y'(x)=-k\,y(x),
y''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-k\,y(x)\bigr) =-k\,y'(x) =-k\bigl(-k\,y(x)\bigr) =k^2\,y(x).

Passo 4

Como a segunda derivada satisfaz
y''(x)=k^2\,y(x),
essa é justamente a equação diferencial cuja solução geral é y(x)=A\,e^{-k x} (com A constante de integração).

Resposta

A família de soluções dada satisfaz
y''(x)=k^2\,y(x).

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