Questão 07
Analise a expressão abaixo:
y(x)=A \cdot \operatorname{sen}(x)
A expressão dada pode ser um conjunto solução de qual equação diferencial indicada abaixo?
\left(d^{\wedge} 2 y\right) / d x^{\wedge} 2=A y+\operatorname{sen}(x)
\left(d^{\wedge} 2 y\right) / d x^{\wedge} 2=A
-\left(d^{\wedge} 2 y\right) / d x^{\wedge} 2=-A . y
\left(d^{\wedge} 2 y\right) / d x^{\wedge} 2=-A \cdot y
\left(d^{\wedge} 2 y\right) / d x^{\wedge} 2=0

Passo 1

O enunciado nos dá a família de soluções
y(x)=A\operatorname{sen}(x),
onde A é constante. Precisamos verificar em qual das equações diferenciais abaixo essa y(x) satisfaz:
1) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=A\,y+\operatorname{sen}(x) 2) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=A 3) -\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=-A\,y 4) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=-A\,y 5) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=0

Passo 2

Calcular a segunda derivada de y.
y(x)=A\operatorname{sen}(x) \quad\Longrightarrow\quad y'(x)=A\cos(x) \quad\Longrightarrow\quad y''(x)=-A\operatorname{sen}(x).

Passo 3

Escrevemos y'' em função de y:
y''(x)=-A\operatorname{sen}(x) \quad\text{e como}\quad y(x)=A\operatorname{sen}(x) \quad\Longrightarrow\quad y''(x)=-\,y(x).

Passo 4

Compare com cada opção:
1) y''=A\,y+\operatorname{sen}(x) daria -A\operatorname{sen}(x)=A^{2}\operatorname{sen}(x)+\operatorname{sen}(x) \to não bate.
2) y''=A daria -A\operatorname{sen}(x)=A \to não bate.
3) -y''=-A\,y é equivalente a y''=A\,y \to não bate.
4) y''=-A\,y daria -A\operatorname{sen}(x)=-A\cdot(A\operatorname{sen}(x))=-A^{2}\operatorname{sen}(x) \to só coincide se A=1, mas é o único formato “ y''\propto -y”.
5) y''=0 daria -A\operatorname{sen}(x)=0 \to não bate.
A única forma canônica que relaciona y'' a -y é a da opção 4.

Resposta

\displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=-A\cdot y

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