Analise a expressão abaixo:
Considerando a expressão dada acima, avalie a seguintes asserções e a relação proposta entre elas.
I. A função dada na expressão é uma solução geral de uma equação diferencial.
PORQUE
II. Ao derivarmos a função dada de acordo com o grau da equação diferencial, chegaremos exatamente na expressão que a representa.
A respeito destas asserções, assinale a opção correta.
As asserções I e II são proposições falsas.
As asserci̧̊ol̀
es I e II sal̀
o proposiciçoì
es verdadeiras, e a ll el̀
uma justificativa da I.
A asserção lé uma proposição falsa e, a ll é uma proposição verdadeira.
A asserção I é uma proposição verdadeira e, a II é uma proposição falsa.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
Considerando a expressão dada acima, avalie a seguintes asserções e a relação proposta entre elas.
I. A função dada na expressão é uma solução geral de uma equação diferencial.
A respeito destas asserções, assinale a opção correta.
As asserções I e II são proposições falsas.
As asserci̧̊ol̀
A asserção lé uma proposição falsa e, a ll é uma proposição verdadeira.
A asserção I é uma proposição verdadeira e, a II é uma proposição falsa.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta tá pedindo. A gente tem uma expressão matemática:
E precisa analisar duas afirmações sobre essa expressão relacionadas a equações diferenciais. A matéria aqui é equações diferenciais, e pra resolver vamos precisar entender o que é uma solução geral de uma equação diferencial e como derivar funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a primeira afirmação:
I. A função dada na expressão é uma solução geral de uma equação diferencial.
Uma solução geral de uma equação diferencial é uma função que satisfaz a equação para qualquer valor das constantes envolvidas. Então, precisamos verificar se
resolve alguma equação diferencial.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda afirmação:
II. Ao derivarmos a função dada de acordo com o grau da equação diferencial, chegaremos exatamente na expressão que a representa.
Isso quer dizer que se a gente derivar
o número de vezes que a equação exige (o grau), a gente retorna a própria expressão
. Isso está relacionado ao conceito de derivadas em soluções de equações diferenciais.
Passo 4
Vamos aplicar um conceito básico das equações diferenciais: se uma função é solução de uma equação diferencial de certa ordem, suas derivadas até essa ordem devem satisfazer a equação.
Por exemplo, se temos uma equação diferencial de primeira ordem, ao derivar
uma vez e substituir na equação, deve satisfazer a igualdade.
Passo 5
Vamos fazer a derivação da função
para ver se isso confirma a segunda afirmação. A função dada é:
Assumindo que
é uma função conhecida, ao derivar
em relação a
, teremos:
E assim por diante, dependendo do grau da equação diferencial.
Passo 6
Analisando as duas afirmações:
-
I. Se
realmente satisfaz uma equação diferencial para qualquer e , então é uma solução geral. Parece que sim, porque temos duas constantes livres. -
II. A derivação da função nos leva de volta à própria expressão, o que confirma que, ao substituir nas derivadas, a relação se mantém.
Resposta
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.