Analise a expressão abaixo:
x(t)=a cdot sen(t)-b cdot cosâ cdot i(t)
Considerando a expressão dada acima, avalie a seguintes asserções e a relação proposta entre elas.
I. A função dada na expressão é uma solução geral de uma equação diferencial.

PORQUE

II. Ao derivarmos a função dada de acordo com o grau da equação diferencial, chegaremos exatamente na expressão que a representa.
A respeito destas asserções, assinale a opção correta.
As asserções I e II são proposições falsas.
As asserci̧̊ol̀ square es I e II sal̀ square o proposiciçoì square es verdadeiras, e a ll el̀ square uma justificativa da I.
A asserção lé uma proposição falsa e, a ll é uma proposição verdadeira.
A asserção I é uma proposição verdadeira e, a II é uma proposição falsa.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta tá pedindo. A gente tem uma expressão matemática:
x(t) = a cdot sen(t) - b cdot cosâ cdot i(t)
E precisa analisar duas afirmações sobre essa expressão relacionadas a equações diferenciais. A matéria aqui é equações diferenciais, e pra resolver vamos precisar entender o que é uma solução geral de uma equação diferencial e como derivar funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a primeira afirmação:
I. A função dada na expressão é uma solução geral de uma equação diferencial.
Uma solução geral de uma equação diferencial é uma função que satisfaz a equação para qualquer valor das constantes envolvidas. Então, precisamos verificar se x(t) resolve alguma equação diferencial.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda afirmação:
II. Ao derivarmos a função dada de acordo com o grau da equação diferencial, chegaremos exatamente na expressão que a representa.
Isso quer dizer que se a gente derivar x(t) o número de vezes que a equação exige (o grau), a gente retorna a própria expressão x(t). Isso está relacionado ao conceito de derivadas em soluções de equações diferenciais.

Passo 4

Vamos aplicar um conceito básico das equações diferenciais: se uma função é solução de uma equação diferencial de certa ordem, suas derivadas até essa ordem devem satisfazer a equação.
Por exemplo, se temos uma equação diferencial de primeira ordem, ao derivar x(t) uma vez e substituir na equação, deve satisfazer a igualdade.

Passo 5

Vamos fazer a derivação da função x(t) para ver se isso confirma a segunda afirmação. A função dada é:
x(t) = a cdot sen(t) - b cdot cosâ cdot i(t)
Assumindo que i(t) é uma função conhecida, ao derivar x(t) em relação a t, teremos:
x'(t) = a cdot cos(t) - b cdot cosâ cdot i'(t)
E assim por diante, dependendo do grau da equação diferencial.

Passo 6

Analisando as duas afirmações:
  • I. Se x(t) realmente satisfaz uma equação diferencial para qualquer a e b, então é uma solução geral. Parece que sim, porque temos duas constantes livres.
  • II. A derivação da função nos leva de volta à própria expressão, o que confirma que, ao substituir nas derivadas, a relação se mantém.

Resposta

As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.

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