Na análise de ferro contido em uma solução, usou-se nos cálculos um valor do volume da pipeta afetado por um erro de +1 \%. Nesta análise o elemento é determinado gravimetricamente na forma de \mathrm{Fe}_{2} \mathrm{O}_{3}. Entretanto, antes de ser pesado, o precipitado foi calcinado em uma temperatura na qual o óxido retém 2 \% de umidade. Calcular o erro resultante na concentração de ferro.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o erro resultante na concentração de ferro, dadas duas fontes de erro: (1) o valor do volume da pipeta usado nos cálculos está com erro de +1\% e (2) o precipitado de \mathrm{Fe}_2\mathrm{O}_3 foi calcinado, mas o óxido retém 2\% de umidade antes de ser pesado. Dados relevantes extraídos do enunciado:
\text{erro do volume} = +1\%,
\text{umidade retida no óxido} = 2\%.ó
A pergunta é: qual é o erro resultante (em porcentagem) na concentração de ferro determinada?

Passo 2

Vamos traduzir o problema em variáveis e equações claras. Seja:
m_{\text{Fe}_2\mathrm{O}_3}^{\text{true}}
a massa verdadeira do óxido anidro (o que corresponderia ao ferro real precipitado) e
V^{\text{true}}
o volume verdadeiro da pipeta (o volume efetivamente pipetado). A concentração verdadeira de ferro na amostra é proporcional à massa de ferro presente dividida pelo volume pipetado. Como o ferro é determinado pela massa de \mathrm{Fe}_2\mathrm{O}_3, escrevemos a concentração verdadeira (proporcional à massa de ferro) como
c^{\text{true}} \propto \frac{m_{\text{Fe}_2\mathrm{O}_3}^{\text{true}}}{V^{\text{true}}}.
Aqui o fator de proporcionalidade é a fração de massa de ferro dentro de \mathrm{Fe}_2\mathrm{O}_3, mas esse fator será o mesmo para valores verdadeiros e medidos e por isso vai cancelar nas razões relativas. Vou chamar esse fator de conversão de k, onde
k=\frac{\text{massa de Fe}}{\text{massa de Fe}_2\mathrm{O}_3}.

Passo 3

Agora modelamos cada erro separadamente em termos das variáveis:
  • O erro no volume que foi usado nos cálculos é +1\%. Isso significa que o volume usado nos cálculos (o valor reportado) é
V^{\text{calc}} = V^{\text{true}}\,(1+0,01).
  • O óxido retém 2\% de umidade, logo a massa medida do precipitado (antes de considerar a água) é maior do que a massa anidra:
m_{\text{Fe}_2\mathrm{O}_3}^{\text{meas}} = m_{\text{Fe}_2\mathrm{O}_3}^{\text{true}}\,(1+0,02).

Passo 4

Escrevemos a concentração calculada usando as quantidades medidas (ou usadas nos cálculos). A massa de ferro calculada será k vezes a massa medida de \mathrm{Fe}_2\mathrm{O}_3, e a concentração calculada será essa massa de ferro dividida pelo volume usado nos cálculos:
c^{\text{calc}} \propto \frac{k\,m_{\text{Fe}_2\mathrm{O}_3}^{\text{meas}}}{V^{\text{calc}}}.
Substituindo as relações dos erros:
c^{\text{calc}} \propto \frac{k\;m_{\text{Fe}_2\mathrm{O}_3}^{\text{true}}(1+0,02)}{V^{\text{true}}(1+0,01)}.

Passo 5

Comparando c^{\text{calc}} com c^{\text{true}}, em que
c^{\text{true}} \propto \frac{k\;m_{\text{Fe}_2\mathrm{O}_3}^{\text{true}}}{V^{\text{true}}},
vemos que muitos fatores se cancelam (o k, m_{\text{Fe}_2\mathrm{O}_3}^{\text{true}} e V^{\text{true}}). Assim a razão entre a concentração calculada e a verdadeira é simplesmente
\frac{c^{\text{calc}}}{c^{\text{true}}}=\frac{1+0,02}{1+0,01}.
Calculamos essa razão:
\frac{1+0,02}{1+0,01}=\frac{1,02}{1,01}=1,00990099\ldots
O erro relativo (em fração) é essa razão menos 1:
\text{erro relativo} = \frac{c^{\text{calc}}-c^{\text{true}}}{c^{\text{true}}} = 1,00990099\ldots -1 = 0,00990099\ldots
Convertendo para porcentagem:
\text{erro} \approx 0,00990099\ldots \times 100\% = 0,990099\ldots\% \approx 0,99\%.

Passo 6

Interpretação simples e verificação aproximada: o precipitado com umidade faz a massa parecer +2\% maior, o erro no volume (usado nos cálculos) de +1\% faz o denominador maior e tende a diminuir a concentração em cerca de 1\%; aproximando, +2\% - 1\% = +1\% (estimativa rápida). O cálculo exato com divisão dá +0,99\%, compatível com essa estimação aproximada.

Resposta

+0,99\%

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