Análise das funções afins
As funções dadas são:
f(x)=-3 x+27
g(x)=4 x+48
a) Domínio ?
b) Quanto é o valor para f(0), . g(0) ?
C) A função tem raízes? Valor X que torna a f(x)=0
d) a função é totalmente crescente ou decrescente? Ou em algum intervalo?
e) Quais intervalos a função é negativa ou positiva?

Passo 1

Você me deu duas funções afins (linhares). As informações fornecidas são:
f(x) = -3x + 27
g(x) = 4x + 48
As perguntas que o enunciado faz (vou listar letra por letra para ficar claro):
a) Qual é o domínio de cada função?
b) Quanto vale f(0) e quanto vale g(0)?
c) A função tem raízes? Qual o valor de x que torna f(x)=0?
d) A função é totalmente crescente ou decrescente? Ou só em algum intervalo?
e) Em quais intervalos a função é negativa ou positiva?

Passo 2

Domínio de uma função afim: o domínio de uma função afim (ou linear do tipo ax+b) é o conjunto de todos os números reais, porque nenhuma operação na fórmula ax+b proíbe algum valor de x (não há divisão por zero, log, raiz par com restrição, etc.).
Explicando as letras: em \,ax+b\, o a é a inclinação (ou coeficiente angular), e o b é o termo independente (ou intercepto em y). Isso é suficiente para concluir que o domínio é todo \mathbb{R}. Para nossas funções, portanto:
\text{domínio de }f = \mathbb{R},\qquad \text{domínio de }g = \mathbb{R}.íí

Passo 3

Avaliar f(0) e g(0). Avaliar uma função em x=0 significa substituir x por 0; o resultado é o intercepto com o eixo y.
Calcule f(0):
f(0) = -3\cdot 0 + 27
f(0)=27.
Calcule g(0):
g(0) = 4\cdot 0 + 48
g(0)=48.
Interpretação: os pontos (0,27) e (0,48) são os pontos onde as retas cortam o eixo y.

Passo 4

Achar a raiz de f, ou seja, resolver f(x)=0. Isso significa encontrar x tal que:
-3x + 27 = 0.
Resolvendo passo a passo: isolamos x.
-3x = -27
x = \frac{-27}{-3}
x = 9.
Logo, f tem uma raiz única em x=9. Isso corresponde ao ponto (9,0) onde a reta corta o eixo x.

Passo 5

Explicar monotonicidade (crescente/decrescente) para funções do tipo \,ax+b\,.
Regra prática: o sinal do coeficiente angular a decide se a função é crescente ou decrescente:
  • Se a>0, a função é crescente em todo o domínio (quanto maior x, maior ax+b).
  • Se a<0, a função é decrescente em todo o domínio (quanto maior x, menor ax+b).
    Aplicando às nossas funções:
f(x)=-3x+27 \Rightarrow a_f = -3 < 0 \Rightarrow f \text{ é decrescente em } \mathbb{R}.é
g(x)=4x+48 \Rightarrow a_g = 4 > 0 \Rightarrow g \text{ é crescente em } \mathbb{R}.é
Comentário prático: “decrescente em \mathbb{R}” significa que não existe intervalo onde ela seja crescente — a reta sempre desce quando andamos para a direita.

Passo 6

Intervalos em que a função é positiva ou negativa. Método: usamos a raiz encontrada e o sinal do coeficiente angular para construir um quadro de sinais. Para uma reta com uma única raiz x_0:
  • Se a>0, então a função é negativa para x<x_0 e positiva para x>x_0.
  • Se a<0, então a função é positiva para x<x_0 e negativa para x>x_0.
    Aplicando a f: já achamos a raiz x_0=9 e a_f=-3<0. Logo:
f(x)>0\quad\text{para }x<9,
f(x)=0\quad\text{em }x=9,
f(x)<0\quad\text{para }x>9.
Aplicando a g: calcule rapidamente a raiz de g (útil para o item e):
4x+48=0 \Rightarrow 4x=-48 \Rightarrow x=-12.
Como a_g=4>0, temos:
g(x)<0\quad\text{para }x<-12,
g(x)=0\quad\text{em }x=-12,
g(x)>0\quad\text{para }x>-12.
Dica de verificação: testar um ponto de cada intervalo (por exemplo x=0 já testamos: f(0)=27>0 concorda com x<9 positivo; g(0)=48>0 concorda com x>-12 positivo).

Passo 7

Resumo final curto e motivador: já temos domínio, interceptos em y, raiz de f, monotonicidade e intervalos de sinais. Se quiser, posso te passar isso em forma de cola rápida para a prova.

Resposta

a) \text{domínio de }f=\mathbb{R},\quad \text{domínio de }g=\mathbb{R}.íí
b) f(0)=27,\quad g(0)=48.
c) f(x)=0 em x=9.
d) f é decrescente em \mathbb{R} (coeficiente -3); g é crescente em \mathbb{R} (coeficiente 4).
e) Para f: f(x)>0 se x<9, f(x)=0 se x=9, f(x)<0 se x>9. \nPara g: g(x)<0 se x<-12, g(x)=0 se x=-12, g(x)>0 se x>-12.

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