Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria. \int_{1}^{\pi / 2} \operatorname{sec} x . d x
Passo 1
O enunciado pede para explicar por que a integral
\int_{1}^{\pi/2} \operatorname{sec} x \, dx
é uma integral imprópria. As informações dadas são: o integrando é \operatorname{sec} x (que é 1/\cos x) e os limites de integração vão de x=1 até x=\pi/2.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa uma integral ser imprópria. Existem dois motivos principais:
O intervalo de integração é infinito (por exemplo, [a,\infty)).
O integrando é não limitado em algum ponto do intervalo (por exemplo, tem uma descontinuidade infinita, uma assíntota vertical).
Aqui o intervalo é finito [\;1,\pi/2\;], então só podemos ter impropriedade do tipo “integrando não limitado em algum ponto do intervalo”.
Passo 3
Identifiquemos onde \operatorname{sec} x pode falhar em ser limitado. Escrevendo \operatorname{sec} x = 1/\cos x, vemos que \operatorname{sec} x fica não definida quando \cos x=0. No intervalo [1,\pi/2] o único ponto em que \cos x=0 é x=\pi/2 (observe que peguei esse dado do limite superior do enunciado). Portanto \operatorname{sec} x é contínua em todo ponto do intervalo aberto (1,\pi/2) e deixa de ser definida exatamente no ponto x=\pi/2. Isso significa que a função é não limitada à medida que nos aproximamos de x=\pi/2 pela esquerda: existe uma descontinuidade infinita no extremo superior.
Passo 4
Pela definição, quando o integrando é não limitado em um extremo finito devemos interpretar a integral imprópria como um limite do tipo
\int_{1}^{\pi/2} \operatorname{sec} x \, dx \;=\; \lim_{b\to\pi/2^-}\int_{1}^{b} \operatorname{sec} x \, dx.
Esse é o procedimento formal: integrar até um ponto b<\pi/2 (onde a função é contínua) e depois tomar b tendendo a \pi/2 pela esquerda.
Passo 5
Para entender melhor o que acontece com esse limite, calculemos a primitiva de \operatorname{sec} x. Um truque padrão é multiplicar por (\operatorname{sec} x+\tan x)/(\operatorname{sec} x+\tan x); isso leva à primitiva conhecida
\int \operatorname{sec} x \, dx = \ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr| + C.
Aqui \tan x=\sin x/\cos x. Essa primitiva é válida sempre que \cos x\neq0, ou seja, em qualquer intervalo onde \operatorname{sec} x é contínua.
Passo 6
Usando a primitiva, escrevemos o integral truncado e o limite:
\int_{1}^{b} \operatorname{sec} x \, dx = \ln\bigl|\operatorname{sec} b + \tan b\bigr| - \ln\bigl|\operatorname{sec} 1 + \tan 1\bigr|,
então
\int_{1}^{\pi/2} \operatorname{sec} x \, dx = \lim_{b\to\pi/2^-}\Big(\ln\bigl|\operatorname{sec} b + \tan b\bigr|\Big) - \ln\bigl|\operatorname{sec} 1 + \tan 1\bigr|.
Ao fazermos b\to\pi/2^- temos \tan b\to +\infty e \operatorname{sec} b\to +\infty, logo \operatorname{sec} b+\tan b\to +\infty e \ln(\operatorname{sec} b+\tan b)\to +\infty. Portanto o limite não é finito: diverge para +\infty. Isso mostra não só que a integral é imprópria (porque o integrando é não limitado em x=\pi/2), como também que a integral imprópria diverge.
Resposta
A integral é imprópria porque \operatorname{sec} x=1/\cos x fica não definida em x=\pi/2 (pois \cos(\pi/2)=0), isto é, o integrando tem uma descontinuidade infinita no extremo superior; formalmente