Multiplique em cada termo da equação diferencial:
\mathrm{dO} / \mathrm{dt}=\left(5 \times 10^{\wedge} 6\right)(2+\operatorname{sen}(2 \mathrm{t}))-\mathrm{Q}(\mathrm{t}) / 2
a seguinte igualdade: q(t)=Q(t) / 10^{\wedge} 6.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{\mathrm{dO}}{\mathrm{dt}}=\left(5\times 10^{6}\right)\bigl(2+\sin(2t)\bigr)-\frac{Q(t)}{2}
e pede que multipliquemos em cada termo dessa equação a igualdade
q(t)=\frac{Q(t)}{10^{6}}.
Informações relevantes que temos: a equação diferencial original com um termo que contém Q(t) e a relação que define q(t) em função de Q(t). A tarefa é reescrever a equação usando a relação entre q(t) e Q(t) (ou multiplicar por uma constante que introduza q(t)).

Passo 2

Objetivo técnico imediato: usar a igualdade q(t)=\dfrac{Q(t)}{10^{6}} para expressar o termo com Q(t) em função de q(t). Vou primeiro isolar Q(t) em termos de q(t) para facilitar substituições:
q(t)=\frac{Q(t)}{10^{6}}\quad\Longrightarrow\quad Q(t)=10^{6}\,q(t).
Explicação didática: multiplicar ambos os lados por 10^{6} é uma operação algébrica simples. A ideia é substituir Q(t) por 10^{6}q(t) dentro da equação original para que a incógnita Q desapareça e apareça q, que é a variável reescalada.

Passo 3

Substituo Q(t)=10^{6}q(t) na equação original termo a termo. O termo que contém Q(t) é \dfrac{Q(t)}{2}. Fazendo a substituição:
\frac{Q(t)}{2}=\frac{10^{6}\,q(t)}{2}=10^{6}\cdot\frac{q(t)}{2}.
Explicação didática: dividimos 10^{6}q(t) por 2; a constante 10^{6} pode ser colocada em evidência porque é apenas um fator multiplicativo.

Passo 4

Agora reescrevo toda a equação substituindo o termo \dfrac{Q(t)}{2} por 10^{6}\cdot\dfrac{q(t)}{2}:
\frac{\mathrm{dO}}{\mathrm{dt}}=\left(5\times 10^{6}\right)\bigl(2+\sin(2t)\bigr)-10^{6}\cdot\frac{q(t)}{2}.
Explicação didática: apenas trocamos Q(t) pela expressão equivalente em q(t). Repare que em ambos os termos à direita aparece um fator 10^{6}, o que permite fatorar 10^{6} se quisermos simplificar a forma.

Passo 5

Coloco 10^{6} em evidência no lado direito para obter uma escrita mais compacta e que mostra claramente a dependência de q(t):
\frac{\mathrm{dO}}{\mathrm{dt}}=10^{6}\left[5\bigl(2+\sin(2t)\bigr)-\frac{q(t)}{2}\right].
Explicação didática: fatorar é útil porque transforma uma expressão com grandes constantes em um produto em que a parte entre colchetes tem números pequenos (aqui o 5 e \tfrac{1}{2}). Isso facilita interpretação e cálculos subsequentes sem perder informação.

Resposta

\frac{\mathrm{dO}}{\mathrm{dt}}=10^{6}\left[5\bigl(2+\sin(2t)\bigr)-\frac{q(t)}{2}\right]

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