Multiplique em cada termo da equação diferencial:
a seguinte igualdade:
.
a seguinte igualdade:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que multipliquemos em cada termo dessa equação a igualdade
Informações relevantes que temos: a equação diferencial original com um termo que contém
e a relação que define
em função de
. A tarefa é reescrever a equação usando a relação entre
e
(ou multiplicar por uma constante que introduza
).
Passo 2
Objetivo técnico imediato: usar a igualdade
para expressar o termo com
em função de
. Vou primeiro isolar
em termos de
para facilitar substituições:
Explicação didática: multiplicar ambos os lados por
é uma operação algébrica simples. A ideia é substituir
por
dentro da equação original para que a incógnita
desapareça e apareça
, que é a variável reescalada.
Passo 3
Substituo
na equação original termo a termo. O termo que contém
é
. Fazendo a substituição:
Explicação didática: dividimos
por
; a constante
pode ser colocada em evidência porque é apenas um fator multiplicativo.
Passo 4
Agora reescrevo toda a equação substituindo o termo
por
:
Explicação didática: apenas trocamos
pela expressão equivalente em
. Repare que em ambos os termos à direita aparece um fator
, o que permite fatorar
se quisermos simplificar a forma.
Passo 5
Coloco
em evidência no lado direito para obter uma escrita mais compacta e que mostra claramente a dependência de
:
Explicação didática: fatorar é útil porque transforma uma expressão com grandes constantes em um produto em que a parte entre colchetes tem números pequenos (aqui o
e
). Isso facilita interpretação e cálculos subsequentes sem perder informação.