Uma análise de latão resultou nos seguintes valores: \mathrm{Cu}(\% \mathrm{~m} / \mathrm{v})=15,52 ; 15,42 ; 15,51 ; 15,53 ; 15,52.
a. Determine se existe algum dado anômalo que possa ser descartado em um limite de confiança de 95 \%. Com os valores aceitos calcule:
b. Média
c. Mediana
d. Desvio padrão

Passo 1

O enunciado dá cinco determinações de teor de cobre em latão (em \% m/v):
15,52;\;15,42;\;15,51;\;15,53;\;15,52.
As perguntas são:
(a) Existe algum dado anômalo que possa ser descartado com nível de confiança de 95\%?
(b) Calcular a média (usando os valores aceitos).
(c) Calcular a mediana (dos valores aceitos).
(d) Calcular o desvio padrão (dos valores aceitos).

Passo 2

Qual teste usar para decidir se há dado anômalo?
Para amostras pequenas (aqui n=5) e em contextos analíticos é comum usar o teste de Dixon (também chamado de teste Q). Ele é simples e apropriado para detectar um valor extremo quando há poucos dados.
Descrição do teste (versão para detectar um extremo):
  • Ordena-se os dados do menor para o maior.
  • Se suspeitamos do menor valor como outlier, calcula-se
Q=\frac{\text{gap}}{\text{range}},
onde \text{gap} é a diferença entre o menor valor suspeito e o segundo menor, e \text{range} é a amplitude (maior menos menor).
  • Compara-se Q com o valor crítico Q_{\text{crit}} obtido em tabela para o tamanho da amostra e o nível de confiança. Se Q>Q_{\text{crit}}, rejeita-se o valor suspeito como outlier.
    Para n=5 e nível de confiança 95\% usa-se a tabela padrão de Dixon que fornece Q_{\text{crit}}=0,71 (valor tabulado).

Passo 3

Ordenando os dados (menor → maior):
15,42;\;15,51;\;15,52;\;15,52;\;15,53.
Testando o menor valor 15,42 como suspeito:
  • \text{gap}=15,51-15,42=0,09.
  • \text{range}=15,53-15,42=0,11.
    Então
Q=\frac{0,09}{0,11}=0,818\ldots \approx 0,818.
Comparando com o crítico:
Q=0,818>Q_{\text{crit}}(n=5,95\%)=0,71.
Conclusão parcial: o valor 15,42 é um outlier significativo ao nível de 95\% e pode ser descartado.
Nota de verificação: testar o maior valor 15,53 como suspeito daria
\text{gap}=15,53-15,52=0,01,\qquad Q=\frac{0,01}{0,11}=0,091<0,71,
portanto o maior não é outlier. Assim apenas 15,42 é descartado.

Passo 4

Passamos, então, a trabalhar com os valores aceitos (após descarte):
15,52;\;15,51;\;15,53;\;15,52.
Cálculo da média aritmética (média amostral):
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aqui n=4. Somando:
15,52+15,51+15,53+15,52=62,08.
Logo
\bar{x}=\frac{62,08}{4}=15,52.
Explicação curta: a média é o valor que equilibra todas as observações; soma-se e divide-se pelo número de observações.

Passo 5

Cálculo da mediana:
  • Ordenando os quatro valores aceitos: 15,51;\;15,52;\;15,52;\;15,53.
  • Para n par, a mediana é a média dos dois valores do meio. Aqui os dois do meio são 15,52 e 15,52.
    Portanto a mediana é
\text{mediana}=\frac{15,52+15,52}{2}=15,52.
Comentário: a mediana é uma medida de posição robusta, menos sensível a valores extremos.

Passo 6

Cálculo do desvio padrão (amostral). Fórmula e interpretação:
  • O desvio padrão amostral s mede a dispersão dos dados em torno da média. Usa-se a fórmula com correção de Bessel (divisor n-1) para obter estimador não viciado da variância da população:
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}.
Aqui n=4 e \bar{x}=15,52.
Calculemos as diferenças e quadrados:
Para x_1=15,51:
x_1-\bar{x}=15,51-15,52=-0,01,\qquad (x_1-\bar{x})^2=0,0001.
Para x_2=15,52:
x_2-\bar{x}=0,00,\qquad (x_2-\bar{x})^2=0.
Para x_3=15,53:
x_3-\bar{x}=0,01,\qquad (x_3-\bar{x})^2=0,0001.
Para x_4=15,52:
x_4-\bar{x}=0,00,\qquad (x_4-\bar{x})^2=0.
Somando os quadrados:
\sum (x_i-\bar{x})^2=0,0001+0+0,0001+0=0,0002.
Aplicando a fórmula:
s=\sqrt{\frac{0,0002}{n-1}}=\sqrt{\frac{0,0002}{3}}=\sqrt{0,0000666667}\approx0,0081649658.
Arredondando de forma razoável (mantendo 3 casas significativas no desvio):
s\approx0,00816.
Interpretação rápida: a dispersão é muito pequena ( \sim8{,}2\times10^{-3} pontos percentuais), o que indica medidas bastante precisas entre si após remover o outlier.

Passo 7

Resumo final dos resultados calculados (valores aceitos após teste de Dixon):
  • Dado anômalo descartado: 15,42 (ao nível de 95\%).
  • Média: 15,52.
  • Mediana: 15,52.
  • Desvio padrão (amostral): 0,00816.
Força aí — esses cálculos mostram que, tirando o ponto discrepante, as medidas concordam muito bem. Vai dar certo na prova!

Resposta

(a) Sim: 15,42\%\\ \mathrm{m}/\mathrm{v} (descartado ao nível de 95\%).
(b) Média =15,52\%\\ \mathrm{m}/\mathrm{v}.
(c) Mediana =15,52\%\\ \mathrm{m}/\mathrm{v}.
(d) Desvio padrão (amostral) =0,00816\%\\ \mathrm{m}/\mathrm{v}.

Exercícios relacionados