Uma solução é 0,100 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} em \mathrm{Fe}^{3+} e 0,100 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} \mathrm{em} \mathrm{Mg}^{2+}.
\begin{aligned} & \mathrm{Fe}(\mathrm{OH})_{3}=5 \times 10^{-38} \\\ & \mathrm{Mg}(\mathrm{OH})_{2}=1 \times 10^{-11} \end{aligned}
a. Demonstre através de cálculos qual precipitado se forma primeiro, quando OH é adicionado lentamente.
b. Qual é a concentração do primeiro cátion quando o segundo cátion começa a precipitar?

Passo 1

O enunciado dá estas informações iniciais:
  • Concentrações iniciais dos cátions: [\mathrm{Fe}^{3+}]_0 = 0,100\\ \mathrm{mol\,L^{-1}} e [\mathrm{Mg}^{2+}]_0 = 0,100\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
  • Produtos de solubilidade:
    • K_{sp}(\mathrm{Fe(OH)}_{3}) = 5\times10^{-38}.
    • K_{sp}(\mathrm{Mg(OH)}_{2}) = 1\times10^{-11}.
O que é pedido:
(a) Determinar, por cálculos, qual precipitado se forma primeiro quando \mathrm{OH}^- é adicionado lentamente.
(b) Calcular a concentração do cátion que precipitou primeiro no instante em que o segundo cátion começa a precipitar.

Passo 2

Princípio físico a usar (explicado devagar): um sal começa a precipitar quando o produto iônico instantâneo Q atinge o K_{sp}. Para os hidróxidos dados:
\text{Para } \mathrm{Fe(OH)}_{3}:\qquad K_{sp,\mathrm{Fe}} = [\mathrm{Fe}^{3+}][\mathrm{OH}^-]^3.
\text{Para } \mathrm{Mg(OH)}_{2}:\qquad K_{sp,\mathrm{Mg}} = [\mathrm{Mg}^{2+}][\mathrm{OH}^-]^2.
Se partimos de [\mathrm{Fe}^{3+}]_0 e [\mathrm{Mg}^{2+}]_0 e adicionamos \mathrm{OH}^- lentamente, cada sal começará a precipitar quando a concentração de [\mathrm{OH}^-] atingir o valor crítico que torna Q=K_{sp}. Assim, os valores críticos são:
[\mathrm{OH}^-]_{\text{crit,Fe}} = \left(\frac{K_{sp,\mathrm{Fe}}}{[\mathrm{Fe}^{3+}]_0}\right)^{1/3}, \qquad [\mathrm{OH}^-]_{\text{crit,Mg}} = \left(\frac{K_{sp,\mathrm{Mg}}}{[\mathrm{Mg}^{2+}]_0}\right)^{1/2}.
O precipitado que tiver o menor [\mathrm{OH}^-]_{\text{crit}} forma-se primeiro (requere menos \mathrm{OH}^-).

Passo 3

Calcular [\mathrm{OH}^-]_{\text{crit}} para \mathrm{Fe(OH)}_{3}.
Primeiro formamos a razão:
\frac{K_{sp,\mathrm{Fe}}}{[\mathrm{Fe}^{3+}]_0}=\frac{5\times10^{-38}}{0,100}=5\times10^{-37}.
Agora a raiz cúbica:
[\mathrm{OH}^-]_{\text{crit,Fe}}=\left(5\times10^{-37}\right)^{1/3}.
Fazendo a avaliação numérica (passo a passo):
5^{1/3}\approx1,710,\qquad 10^{-37/3}=10^{-12,333\ldots}=10^{-12}\times10^{-0,333\ldots}\approx10^{-12}\times0,46416.
Portanto
[\mathrm{OH}^-]_{\text{crit,Fe}}\approx1,710\times0,46416\times10^{-12}\approx7,94\times10^{-13}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Para intuição em termos de pH/pOH:
\text{pOH}_{\text{crit,Fe}}=-\log_{10}(7,94\times10^{-13})\approx12,10, \qquad \text{pH}\approx14-12,10=1,90.

Passo 4

Calcular [\mathrm{OH}^-]_{\text{crit}} para \mathrm{Mg(OH)}_{2}.
Formamos a razão:
\frac{K_{sp,\mathrm{Mg}}}{[\mathrm{Mg}^{2+}]_0}=\frac{1\times10^{-11}}{0,100}=1\times10^{-10}.
Agora a raiz quadrada:
[\mathrm{OH}^-]_{\text{crit,Mg}}=\sqrt{1\times10^{-10}}=1\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Em termos de pOH/pH:
\text{pOH}_{\text{crit,Mg}}=5,\qquad \text{pH}=14-5=9.

Passo 5

Comparação e conclusão do item (a):
[\mathrm{OH}^-]_{\text{crit,Fe}}\approx7,94\times10^{-13}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}} \quad\text{vs}\quad [\mathrm{OH}^-]_{\text{crit,Mg}}=1\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Como 7,94\times10^{-13}\ll1\times10^{-5}, o \mathrm{Fe(OH)}_{3} exige muito menos \mathrm{OH}^- para começar a precipitar. Logo, ao adicionar \mathrm{OH}^- lentamente, o primeiro precipitado a se formar é \mathrm{Fe(OH)}_{3}.

Passo 6

Resolver o item (b): concentração de [\mathrm{Fe}^{3+}] quando o segundo cátion ( \mathrm{Mg}^{2+}) começa a precipitar.
No instante em que o \mathrm{Mg(OH)}_{2} começa a precipitar vale
[\mathrm{OH}^-]=[\mathrm{OH}^-]_{\text{crit,Mg}}=1\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Nesse momento, a concentração residual de \mathrm{Fe}^{3+} está fixada pelo K_{sp} de \mathrm{Fe(OH)}_{3}:
[\mathrm{Fe}^{3+}] = \frac{K_{sp,\mathrm{Fe}}}{[\mathrm{OH}^-]^3}.
Substituindo:
[\mathrm{Fe}^{3+}] = \frac{5\times10^{-38}}{(1\times10^{-5})^3} = \frac{5\times10^{-38}}{1\times10^{-15}} = 5\times10^{-23}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Isto significa que, ao chegar no ponto em que o \mathrm{Mg(OH)}_{2} começa a precipitar, a maior parte do \mathrm{Fe}^{3+} já saiu da solução e a concentração remanescente é extremamente pequena ( 5\times10^{-23}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}).

Resposta

\mathrm{Fe(OH)}_{3} precipita primeiro.
[\mathrm{Fe}^{3+}] = 5\times10^{-23}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}

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