Em uma análise metalográfica para a medição do tamanho do grão de um aço temperado, foram retirados os seguintes valores.
M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8
10.0 \mu \mathrm{~m} 12.0 \mu \mathrm{~m} 11.5 \mu \mathrm{~m} 13.0 \mu \mathrm{~m} 12.7 \mu \mathrm{~m} 11.3 \mu \mathrm{~m} 10.6 \mu \mathrm{~m} 10.8 \mu \mathrm{~m}
a) Calcule o tamanho de grão médio;
b) Calcule o desvio padrão populacional entre as amostras;
c) Eliminando o maior e menor valor, calcule do desvio padrão amostral das seis amostras restantes;
d) Calcule a relação de erro entre o desvio padrão amostral e populacional, explicando estatisticamente a diferença entre as medidas.
Obs.: Utilize apenas dois números significativos.

Passo 1

Resumindo, temos oito medições do tamanho de grão de um aço temperado (todas em micrômetros): 10,0; 12,0; 11,5; 13,0; 12,7; 11,3; 10,6; 10,8 .
O conteúdo aqui é estatística descritiva: primeiro calculamos a média aritmética, depois o desvio padrão populacional \sigma, em seguida removemos o maior e o menor valor e calculamos o desvio padrão amostral s das seis restantes, e por fim obtemos o erro relativo entre s e \sigma.

Passo 2

Para a média aritmética usamos
\bar{x} =\frac{1}{8}\sum_{i=1}^{8}x_i =\frac{10{,}0+12{,}0+11{,}5+13{,}0+12{,}7+11{,}3+10{,}6+10{,}8}{8} =\frac{91{,}9}{8} =11{,}49\;\mu\mathrm{m}.
Arredondando para duas cifras significativas,
\bar{x}\approx11\;\mu\mathrm{m}.

Passo 3

O desvio padrão populacional é
\sigma =\sqrt{\frac{1}{8}\sum_{i=1}^{8}(x_i-\bar{x})^2} =\sqrt{\frac{7{,}5293}{8}} \approx0{,}97\;\mu\mathrm{m}.

Passo 4

Eliminando o menor 10{,}0 e o maior 13{,}0, restam seis valores cuja média é
\bar{x}_6 =\frac{68{,}9}{6} \approx11{,}48\;\mu\mathrm{m}.
O desvio padrão amostral usa divisor n-1=5:
s =\sqrt{\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar{x}_6)^2} =\sqrt{\frac{3{,}0285}{5}} \approx0{,}78\;\mu\mathrm{m}.

Passo 5

A relação de erro relativa entre o desvio padrão amostral e o populacional é
\frac{s-\sigma}{\sigma}\times100\% =\frac{0{,}78-0{,}97}{0{,}97}\times100\% \approx-20\%.
Em módulo, há cerca de 20\% de diferença. Estatisticamente isso ocorre porque ao remover extremos reduzimos a dispersão, e ainda há a diferença de divisor n para \sigma e n-1 para s que faz o desvio amostral estimar de forma não idêntica o desvio populacional.

Resposta

a) 11\;\mu\mathrm{m}
b) 0,97\;\mu\mathrm{m}
c) 0,78\;\mu\mathrm{m}
d) 20\% de diferença absoluta (em módulo); a discrepância vem de remover o valor mínimo e máximo e do uso de n-1 no cálculo amostral, alterando a dispersão medida.

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