Analise os modos normais de vibração dos seguintes sistemas.
Sistema linear de três massas, m1=m, m2=M e m3=m, em que a massa central M se liga às outras duas por molas de constante k (exemplo 12.5 do livro). Considere apenas oscilações longitudinais.

Passo 1

Resumo do enunciado: três massas m1=m, m2=M, m3=m ligadas em linha por duas molas de constante k. O objetivo é achar os modos normais de vibração longitudinal, usando as equações de Newton e análise de autovalores.

Passo 2

Escrever as equações de movimento pelo princípio fundamental da dinâmica:
m,ddot x1=-kl(x1-x2r),
M,ddot x2=-kl(x2-x1r)-kl(x2-x3r),
m,ddot x3=-kl(x3-x2r),

Passo 3

Assumir solução do tipo xj=Aj e^iomega t e montar o problema de autovalor:
k(A1-A2)=momega^2A1, -k(A1-2A2+A3)=Momega^2A2, k(A3-A2)=momega^2A3,
ou de forma matricial
k-momega^2&-k&0-k&2k-Momega^2&-k0&-k&k-momega^2A1A2A3=0

Passo 4

Modo de translação (trivial): tomando A1=A2=A3 não há força restauradora, logo omega=0.

Passo 5

Modo anti-simétrico: impondo A2=0 e A3=-A1 obtém-se k=momega^2, ou seja omega=raizk/m, com vetor próprio (1,0,-1).

Passo 6

Modo simétrico não trivial: supondo A1=A3neq0, das equações vem
A2=-2mM, omega^2=k(M+2m)Mm

Resposta

Os modos normais são:
• Modo de translação: omega1=0, vetor próprio (A1,A2,A3)propto(1,1,1).
• Modo anti-simétrico: omega2=raizk/m, vetor próprio (1,0,-1).
• Modo simétrico: omega3=raiztfrack(M+2m)Mm, vetor próprio (1,-2m/M,1).

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