Analise os modos normais de vibração dos seguintes sistemas.
Sistema linear de três massas, , e , em que a massa central se liga às outras duas por molas de constante (exemplo 12.5 do livro). Considere apenas oscilações longitudinais.
Passo 1
Resumo do enunciado: três massas , , ligadas em linha por duas molas de constante . O objetivo é achar os modos normais de vibração longitudinal, usando as equações de Newton e análise de autovalores.
Passo 2
Escrever as equações de movimento pelo princípio fundamental da dinâmica:
Passo 3
Assumir solução do tipo e montar o problema de autovalor:
ou de forma matricial
Passo 4
Modo de translação (trivial): tomando A1=A2=A3 não há força restauradora, logo omega=0.
Passo 5
Modo anti-simétrico: impondo A2=0 e A3=-A1 obtém-se k=momega^2, ou seja omega=raizk/m, com vetor próprio (1,0,-1).
Passo 6
Modo simétrico não trivial: supondo A1=A3neq0, das equações vem
A2=-2mM, omega^2=k(M+2m)Mm
Resposta
Os modos normais são:
• Modo de translação: omega1=0, vetor próprio (A1,A2,A3)propto(1,1,1).
• Modo anti-simétrico: omega2=raizk/m, vetor próprio (1,0,-1).
• Modo simétrico: omega3=raiztfrack(M+2m)Mm, vetor próprio (1,-2m/M,1).