(Exemplo 9.4 do livro de Marion e Thornton) Um projétil de massa M explode em voo em três fragmentos. Uma massa m1(=M / 2) se desloca no sentido original do projétil, a massa m2=(M / 6) se desloca no sentido oposto e a massa m3(=M / 3) fica em repouso. A energia E liberada na explosão é igual a cinco vezes a anergia cinética do projétil no momento da explosão. Quais são as velocidades?

Passo 1

O enunciado diz que um projétil de massa M e velocidade V se parte em três pedaços: m1=M/2 segue no mesmo sentido de V, m2=M/6 vai no sentido oposto e m3=M/3 fica em repouso. A energia liberada na explosão vale cinco vezes a energia cinética do projétil antes da explosão. Vamos usar conservação de momento linear e a relação de energia incluindo o acréscimo da explosão.

Passo 2

Pela conservação de momento linear, antes da explosão o momento é MV. Depois, obtemos
M2v1 + M6v2 + M3cdot 0 = MV
A explosão libera energia E=5times energia cinética inicial, então a energia cinética total após é seis vezes a inicial. Como Ki=tfrac12MV^2, temos
tfrac12M2v1^2 + tfrac12M6v2^2 = 6timestfrac12MV^2 = 3MV^2

Passo 3

Agora resolvemos o sistema. Da equação de momento
v12+v26=VLongrightarrow v2=6V-3v1
e da energia
v1^24+v2^212=3V^2

Passo 4

Substituindo v2=6V-3v1 na equação de energia e simplificando, obtemos v1=3V (descartamos a solução trivial v1=0). Logo v2=6V-3cdot3V=-3V.

Resposta

v1=3V, v2=-3V, v3=0

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