a) Considere uma partícula de massa m nas proximidades da Terra, a uma pequena altura z do solo. A partir do potencial gravitacional Phi=-G MT / r, encontre g, mostre que a força peso tem intensidade m g e que a energia potencial, a menos de uma constante, é m g z (potencial g z ). Encontre a velocidade de escape ve da superfície da Terra. c) A que distância do centro de um planeta deve estar um satélite geoestacionário de órbita circular?

Passo 1

O enunciado pede que, usando o potencial gravitacional Phi=-dfracG MTr, a gente: encontre a aceleração da gravidade g, mostre que o peso tem intensidade m g, encontre a forma linear da energia potencial próxima à superfície ( m g z) e calcule a velocidade de escape a partir da conservação de energia. Depois, na parte ©, achar o raio de uma órbita geoestacionária circular. Vamos usar conceitos de gradiente de potencial, aproximação em série e leis de Kepler.

Passo 2

Para achar g, calculamos o campo gravitacional como g=-nablaPhi. Como Phi depende só de r, temos
g(r)=| -dPhidr|=G MTr^2
Na superfície da Terra ( r=RT),
g=G MTRT^2

Passo 3

O peso é a força gravitacional sobre a massa m:
F=m,g,
logo sua intensidade é F=mg, apontando para o centro da Terra.

Passo 4

Para a energia potencial, fazemos a expansão de Taylor de Phi(r) em torno de r=RT+z com zll RT:
1RT+z=1RTl(1+zRTr)^-1approx1RTl(1-zRTr)
Então
Phi(RT+z)approx -G MTRT+G MTRT^2,z=-G MTRT+g,z
A energia potencial U=mPhi difere de m g z apenas por uma constante, de modo que podemos escrever

Passo 5

Para a velocidade de escape, usamos conservação de energia entre a superfície (energia total E=tfrac12m ve^2+mPhi(RT)) e o infinito (energia zero). Impomos
12m ve^2+ml(-G MTRTr)=0
de onde
ve=raiz2G MTRT=raiz2gRT

Passo 6

Para a órbita geoestacionária (período igual ao de rotação da Terra T), usamos a terceira lei de Kepler para órbita circular:
T=2piraizr^3G MT
Resolvendo para r,
r=l(G MT T^24pi^2r)^1/3

Resposta

g=GM_T/R_T^2, peso F=mg, U≈mgz+const, v_e=√(2GM_T/R_T)=√(2gR_T), r_geo=(GM_T T2/(4π2))^{1/3}.

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