a) Considere uma partícula de massa nas proximidades da Terra, a uma pequena altura do solo. A partir do potencial gravitacional , encontre , mostre que a força peso tem intensidade e que a energia potencial, a menos de uma constante, é (potencial ). Encontre a velocidade de escape da superfície da Terra. c) A que distância do centro de um planeta deve estar um satélite geoestacionário de órbita circular?
Para achar , calculamos o campo gravitacional como . Como depende só de , temos
Na superfície da Terra (r=RT), g=G MTRT^2
Passo 3
O peso é a força gravitacional sobre a massa m:
F=m,g,
logo sua intensidade é F=mg, apontando para o centro da Terra.
Passo 4
Para a energia potencial, fazemos a expansão de Taylor de Phi(r) em torno de r=RT+z com zll RT:
1RT+z=1RTl(1+zRTr)^-1approx1RTl(1-zRTr)
Então Phi(RT+z)approx -G MTRT+G MTRT^2,z=-G MTRT+g,z
A energia potencial U=mPhi difere de m g z apenas por uma constante, de modo que podemos escrever
Passo 5
Para a velocidade de escape, usamos conservação de energia entre a superfície (energia total E=tfrac12m ve^2+mPhi(RT)) e o infinito (energia zero). Impomos
12m ve^2+ml(-G MTRTr)=0
de onde ve=raiz2G MTRT=raiz2gRT
Passo 6
Para a órbita geoestacionária (período igual ao de rotação da Terra T), usamos a terceira lei de Kepler para órbita circular:
T=2piraizr^3G MT
Resolvendo para r, r=l(G MT T^24pi^2r)^1/3