- Análise de Multiplicidade: O polinômio
possui uma raiz de multiplicidade. Utilize o Algoritmo de Briot-Ruffini para mostrar essa multiplicidade e encontre todas as raízes. Se fosse necessário usar Newton-Raphson para uma raiz de multiplicidade, qual seria o desafio e como a aplicação de Briot-Ruffini (derivada) poderia ajudar?
Passo 1
O enunciado pede para analisar a multiplicidade da raiz do polinômio
usando o Algoritmo de Briot-Ruffini e, em seguida, encontrar todas as raízes. Além disso, questiona qual dificuldade surge se aplicássemos Newton-Raphson a uma raiz múltipla e como o uso de Briot-Ruffini (ou da derivada) ameniza esse desafio.
Passo 2
Primeiro, testamos um valor simples para ver se é raiz. Avaliando em
:
Portanto,
é raiz.
Passo 3
Aplicamos Briot-Ruffini (divisão sintética) dividindo
por
. Colocamos os coeficientes
e usamos “1” como divisor:
O resto é zero e o quociente é
Passo 4
Agora
pode ser reescrito como
Isso mostra que
é raiz de multiplicidade ao menos 2 no quociente. Para evidenciar todas as multiplicidades, dividimos novamente
por
via Briot-Ruffini:
O novo quociente é
novamente com resto zero. Uma última divisão por
gera o quociente constante 1 e resto zero.
Passo 5
Concluímos que
Logo, a única raiz é
com multiplicidade 3.
com multiplicidade 3.
Passo 6
Se usássemos o método de Newton-Raphson tradicional em uma raiz de multiplicidade
, a convergência cai de quadrática para apenas linear, tornando o método muito mais lento.
Passo 7
Para contornar isso, podemos “dividir” a multiplicidade antes de iterar. Ou seja, aplicar Briot-Ruffini para extrair
e ficar com um polinômio de raiz simples, onde Newton recupera convergência quadrática. Alternativamente, usa-se a forma modificada de Newton
que ajusta o passo pelo fator
e restaura convergência rápida mesmo para raízes múltiplas.
Resposta
A raiz de
é
com multiplicidade 3.
O método de Newton-Raphson sofre queda para convergência linear em raízes múltiplas; extrair a raiz repetida por Briot-Ruffini ou usar a fórmula modificada com o fator restaura a convergência quadrática.
O método de Newton-Raphson sofre queda para convergência linear em raízes múltiplas; extrair a raiz repetida por Briot-Ruffini ou usar a fórmula modificada com o fator