1. Análise de Multiplicidade: O polinômio F(x)=x^{3}-3 x^{2}+3 x-1 possui uma raiz de multiplicidade. Utilize o Algoritmo de Briot-Ruffini para mostrar essa multiplicidade e encontre todas as raízes. Se fosse necessário usar Newton-Raphson para uma raiz de multiplicidade, qual seria o desafio e como a aplicação de Briot-Ruffini (derivada) poderia ajudar?

Passo 1

O enunciado pede para analisar a multiplicidade da raiz do polinômio
F(x)=x^{3}-3x^{2}+3x-1,
usando o Algoritmo de Briot-Ruffini e, em seguida, encontrar todas as raízes. Além disso, questiona qual dificuldade surge se aplicássemos Newton-Raphson a uma raiz múltipla e como o uso de Briot-Ruffini (ou da derivada) ameniza esse desafio.

Passo 2

Primeiro, testamos um valor simples para ver se é raiz. Avaliando em x=1:
F(1)=1^{3}-3\cdot1^{2}+3\cdot1-1=1-3+3-1=0.
Portanto, x=1 é raiz.

Passo 3

Aplicamos Briot-Ruffini (divisão sintética) dividindo F(x) por (x-1). Colocamos os coeficientes 1,\,-3,\,3,\,-1 e usamos “1” como divisor:
\begin{array}{c|cccc} 1 & 1 & -3 & 3 & -1\\hline & & 1 & -2& 1 \\\ \hline & 1 & -2 & 1 & 0 \end{array}
O resto é zero e o quociente é
Q_1(x)=x^{2}-2x+1.

Passo 4

Agora Q_1(x)=x^{2}-2x+1 pode ser reescrito como
Q_1(x)=(x-1)^{2}.
Isso mostra que x=1 é raiz de multiplicidade ao menos 2 no quociente. Para evidenciar todas as multiplicidades, dividimos novamente Q_1(x) por (x-1) via Briot-Ruffini:
\begin{array}{c|ccc} 1 & 1 & -2 & 1\\hline & & 1 & -1 \\\ \hline & 1 & -1 & 0 \end{array}
O novo quociente é
Q_2(x)=x-1,
novamente com resto zero. Uma última divisão por (x-1) gera o quociente constante 1 e resto zero.

Passo 5

Concluímos que
F(x)=(x-1)\cdot(x-1)\cdot(x-1)=(x-1)^{3}.
Logo, a única raiz é x=1
com multiplicidade 3.

Passo 6

Se usássemos o método de Newton-Raphson tradicional em uma raiz de multiplicidade m>1, a convergência cai de quadrática para apenas linear, tornando o método muito mais lento.

Passo 7

Para contornar isso, podemos “dividir” a multiplicidade antes de iterar. Ou seja, aplicar Briot-Ruffini para extrair (x-1)^{m-1} e ficar com um polinômio de raiz simples, onde Newton recupera convergência quadrática. Alternativamente, usa-se a forma modificada de Newton
x_{n+1}=x_{n}-m\,\frac{F(x_{n})}{F'(x_{n})},
que ajusta o passo pelo fator m e restaura convergência rápida mesmo para raízes múltiplas.

Resposta

A raiz de F(x) é x=1 com multiplicidade 3.
O método de Newton-Raphson sofre queda para convergência linear em raízes múltiplas; extrair a raiz repetida por Briot-Ruffini ou usar a fórmula modificada com o fator m restaura a convergência quadrática.

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