1. Encontre todas as raízes do polinômio P(x)=x^{4}-6 x^{3}+12 x^{2}-10 x+3. (Dica: comece com a Regra de Sinais de Descartes, procure por raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais e depois utilize Briot-Ruffini para reduzir o grau e, se necessário, o Teorema de Sturm ou Newton-Raphson para as raízes restantes).

Passo 1

O enunciado pede todas as raízes do polinômio
P(x)=x^{4}-6x^{3}+12x^{2}-10x+3.
O conteúdo principal é fatoração de polinômios. Vamos usar: Regra de Sinais de Descartes para estimar número de raízes positivas/negativas, Teorema das Raízes Racionais para testar candidatos \pm1 e \pm3, e em seguida o método de Briot–Ruffini (divisão sintética) para reduzir o grau passo a passo.

Passo 2

Aplicando a Regra de Sinais de Descartes a P(x), vemos as mudanças de sinal em
+,\,-,\,+,\,-,\,+
ou seja, até 4 raízes positivas, ou 2 ou 0. Para P(-x) temos
(-x)^{4}-6(-x)^{3}+12(-x)^{2}-10(-x)+3 = x^{4}+6x^{3}+12x^{2}+10x+3
sem mudança de sinal, logo não há raízes negativas. Todas as raízes são \ge0.

Passo 3

Pelo Teorema das Raízes Racionais, os candidatos são divisores de 3 sobre divisores de 1, isto é, \pm1,\pm3. Testando x=1:
P(1)=1-6+12-10+3=0,
logo x=1 é raiz e (x-1) é fator.

Passo 4

Fazemos divisão sintética de P(x) por x-1. Coeficientes de P: 1,\,-6,\,12,\,-10,\,3. Dividindo por x-1 (raiz 1) obtemos o quociente de grau 3 com coeficientes
1,\,-5,\,7,\,-3
e resto zero. Assim
P(x)=(x-1)\bigl(x^{3}-5x^{2}+7x-3\bigr).

Passo 5

Repete-se a busca de raízes no cúbico Q(x)=x^{3}-5x^{2}+7x-3. Novamente testamos x=1:
Q(1)=1-5+7-3=0,
logo x=1 é raiz dupla. Dividindo sinteticamente Q por x-1 obtemos o quadrático
x^{2}-4x+3.

Passo 6

O quadrático x^{2}-4x+3 fatora em
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).

Passo 7

Juntando fatores,
P(x)=(x-1)\,(x-1)\,(x-1)\,(x-3)=(x-1)^{3}(x-3).

Resposta

As raízes de P(x) são
\;x=1 (multiplicidade 3) e \;x=3.

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