- Encontre todas as raízes do polinômio
. (Dica: comece com a Regra de Sinais de Descartes, procure por raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais e depois utilize Briot-Ruffini para reduzir o grau e, se necessário, o Teorema de Sturm ou Newton-Raphson para as raízes restantes).
Passo 1
O enunciado pede todas as raízes do polinômio
O conteúdo principal é fatoração de polinômios. Vamos usar: Regra de Sinais de Descartes para estimar número de raízes positivas/negativas, Teorema das Raízes Racionais para testar candidatos
e
, e em seguida o método de Briot–Ruffini (divisão sintética) para reduzir o grau passo a passo.
Passo 2
Aplicando a Regra de Sinais de Descartes a
, vemos as mudanças de sinal em
ou seja, até 4 raízes positivas, ou 2 ou 0. Para
temos
sem mudança de sinal, logo não há raízes negativas. Todas as raízes são
.
Passo 3
Pelo Teorema das Raízes Racionais, os candidatos são divisores de
sobre divisores de
, isto é,
. Testando
:
logo
é raiz e
é fator.
Passo 4
Fazemos divisão sintética de
por
. Coeficientes de
:
. Dividindo por
(raiz
) obtemos o quociente de grau 3 com coeficientes
e resto zero. Assim
Passo 5
Repete-se a busca de raízes no cúbico
. Novamente testamos
:
logo
é raiz dupla. Dividindo sinteticamente
por
obtemos o quadrático
Passo 6
O quadrático
fatora em
Passo 7
Juntando fatores,
Resposta
As raízes de
são
(multiplicidade 3) e
.