1. Crie um polinômio de grau 4 que possua exatamente 2 raízes reais positivas e 2 raízes complexas conjugadas. Em seguida, aplique a Regra de Sinais de Descartes ao seu polinômio e discuta como ela se alinha com a sua construção.

Passo 1

O enunciado pede um polinômio de grau 4 com exatamente duas raízes reais positivas e duas raízes complexas conjugadas. Para isso, vamos usar dois conceitos:
  1. Em polinômios de coeficientes reais, raízes complexas sempre aparecem em pares conjugados.
  2. A Regra de Sinais de Descartes nos dá um número máximo de raízes reais positivas (e, por paridade, reduzível de dois em dois).

Passo 2

Escolhemos como raízes reais positivas 1 e 2, e como raízes complexas conjugadas 1+i e 1-i. Assim, podemos definir
P(x) = (x-1)\,(x-2)\,\bigl(x-(1+i)\bigr)\,\bigl(x-(1-i)\bigr).

Passo 3

Note que
\bigl(x-(1+i)\bigr)\,\bigl(x-(1-i)\bigr) = (x-1-i)(x-1+i) = (x-1)^2 - (i)^2 = (x-1)^2 + 1 = x^2 - 2x + 2.
Também
(x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2.
Logo
P(x) = (x^2 - 3x + 2)\,(x^2 - 2x + 2).

Passo 4

Fazendo a multiplicação:
\begin{aligned} P(x) &= x^2\,(x^2 - 2x + 2) \;-\; 3x\,(x^2 - 2x + 2) \;+\; 2\,(x^2 - 2x + 2)\\\ &= (x^4 - 2x^3 + 2x^2) \;+\; (-3x^3 + 6x^2 - 6x) \;+\; (2x^2 - 4x + 4)\\\ &= x^4 -5x^3 +10x^2 -10x +4. \end{aligned}

Passo 5

Aplicamos a Regra de Sinais de Descartes em P(x). Os coeficientes são
+1,\;-5,\;+10,\;-10,\;+4,
ou seja, o sinal muda 4 vezes. A regra diz que o número de raízes reais positivas é igual a esse número de mudanças ou menor que ele por um múltiplo de 2. Logo podem ser 4,2 ou 0 raízes positivas. Nós construímos exatamente 2, o que está de acordo com a regra.

Passo 6

Para verificar que não há raízes negativas, calculamos P(-x):
P(-x) = (+1)x^4 +5x^3 +10x^2 +10x +4,
cujo sinal não muda em nenhum ponto (todas as parcelas são positivas). Assim, não há raízes negativas. As duas restantes são as complexas conjugadas. Tudo está coerente com a Regra de Sinais de Descartes.

Resposta

P(x) = x^4 - 5x^3 + 10x^2 - 10x + 4.
A Regra de Sinais mostra 4 mudanças de sinal em P(x), de onde se segue que há 4, 2 ou 0 raízes positivas; construímos 2. Em P(-x) não há mudanças, confirmando 0 raízes negativas.

Exercícios relacionados