- Crie um polinômio de grau 4 que possua exatamente 2 raízes reais positivas e 2 raízes complexas conjugadas. Em seguida, aplique a Regra de Sinais de Descartes ao seu polinômio e discuta como ela se alinha com a sua construção.
Passo 1
O enunciado pede um polinômio de grau 4 com exatamente duas raízes reais positivas e duas raízes complexas conjugadas. Para isso, vamos usar dois conceitos:
- Em polinômios de coeficientes reais, raízes complexas sempre aparecem em pares conjugados.
- A Regra de Sinais de Descartes nos dá um número máximo de raízes reais positivas (e, por paridade, reduzível de dois em dois).
Passo 2
Escolhemos como raízes reais positivas
e
, e como raízes complexas conjugadas
e
. Assim, podemos definir
Passo 3
Note que
Também
Logo
Passo 4
Fazendo a multiplicação:
Passo 5
Aplicamos a Regra de Sinais de Descartes em
. Os coeficientes são
ou seja, o sinal muda 4 vezes. A regra diz que o número de raízes reais positivas é igual a esse número de mudanças ou menor que ele por um múltiplo de 2. Logo podem ser
ou
raízes positivas. Nós construímos exatamente 2, o que está de acordo com a regra.
Passo 6
Para verificar que não há raízes negativas, calculamos
:
cujo sinal não muda em nenhum ponto (todas as parcelas são positivas). Assim, não há raízes negativas. As duas restantes são as complexas conjugadas. Tudo está coerente com a Regra de Sinais de Descartes.
Resposta
A Regra de Sinais mostra 4 mudanças de sinal em