A análise dos perfis de temperatura e da transferência de calor em sistemas providos de uma fonte geradora de energia é requerida em algumas aplicações, as quais incluem, por exemplo, os processos de fissão nuclear, o aquecimento Joule, bem como o aquecimento microondas. Considere uma placa de espessura 2L, com largura e altura muito grandes comparadas a espessura, com geração interna de energia. Considere a situação na qual a taxa de geração de energia é linearmente dependente da temperatura local, de acordo com a equação:
dotqG=dotqG rho[1+beta(T-To)]
Determine o perfil de temperatura dentro da placa, assumindo a condutividade térmica do material constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como a temperatura se distribui dentro de uma placa que gera calor internamente de um jeito que depende da própria temperatura. A matéria aqui é transferência de calor, especificamente condução térmica com geração interna de calor. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação da condução de calor com geração interna e resolver uma equação diferencial para encontrar o perfil de temperatura na placa.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar a placa como tendo uma espessura de 2L e que ela é bem grande nas outras direções, então só precisamos nos preocupar com a variação da temperatura na direção da espessura. A geração de calor interna é dada por:
dotqG = dotqG rho[1 + beta(T - To)]
Aqui, dotqG é a taxa de geração de calor por unidade de volume, dotqG rho é a taxa base de geração de calor, beta é um coeficiente que mostra como essa geração de calor depende da temperatura T, e To é uma temperatura de referência.

Passo 3

Na condução de calor estacionária (sem variação no tempo) e unidimensional, a equação de condução com geração interna fica:
d^2 Tdx^2 + dotqGk = 0
Onde:
  • d^2 Tdx^2 é a segunda derivada da temperatura em relação à posição x,
  • k é a condutividade térmica do material.

Passo 4

Vamos substituir a expressão de dotqG na equação:
d^2 Tdx^2 + dotqG rho[1 + beta(T - To)]k = 0
Isso simplifica para:
d^2 Tdx^2 + dotqG rhok + dotqG rho betak (T - To) = 0

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
d^2 Tdx^2 + dotqG rho betak T = -dotqG rhok + dotqG rho beta Tok
Para simplificar, definimos $ \gamma^2 = \frac{\dot{q}{G \rho} \beta}{k} $ e $ C = -\frac{\dot{q}{G \rho}}{k} + \frac{\dot{q}_{G \rho} \beta T_o}{k} $. Assim, temos:
gamma^2 = dotqG rho betak

Passo 6

Resolvendo a equação diferencial homogênea associada:
d^2 Tdx^2 + gamma^2 T = 0
A solução geral é:
Th(x) = A cos(gamma x) + B sin(gamma x)
Onde A e B são constantes que serão determinadas pelas condições de contorno.

Passo 7

Agora, encontramos uma solução particular para a equação completa. Como o lado direito é uma constante, supomos uma solução constante Tp. Substituindo na equação:
0 + gamma^2 Tp = C Rightarrow Tp = Cgamma^2 = -dotqG rhok + dotqG rho beta TokdotqG rho betak = To - 1beta

Passo 8

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
T(x) = A cos(gamma x) + B sin(gamma x) + To - 1beta

Passo 9

Aplicamos as condições de contorno. Supondo que nas faces da placa ( x = pm L) a temperatura é To:
Para x = L:
T(L) = A cos(gamma L) + B sin(gamma L) + To - 1beta = To
Para x = -L:
T(-L) = A cos(-gamma L) + B sin(-gamma L) + To - 1beta = A cos(gamma L) - B sin(gamma L) + To - 1beta = To
Isso leva a:
A cos(gamma L) + B sin(gamma L) = 1beta
A cos(gamma L) - B sin(gamma L) = 1beta
Subtraindo as duas equações:
2B sin(gamma L) = 0 Rightarrow B = 0
E então:
A cos(gamma L) = 1beta Rightarrow A = 1beta cos(gamma L)

Passo 10

Substituindo A e B na solução geral:
T(x) = 1beta cos(gamma L) cos(gamma x) + To - 1beta
Simplificando:
T(x) = To + 1beta ( cos(gamma x)cos(gamma L) - 1 )

Resposta

O perfil de temperatura dentro da placa é dado por:
T(x) = To + 1beta ( cos(gamma x)cos(gamma L) - 1 )
Onde $ \gamma = \sqrt{\frac{\dot{q}{G \rho} \beta}{k}} $, $ T_o $ é a temperatura de referência, $ \beta $ é o coeficiente de dependência da geração de calor com a temperatura, $ \dot{q}{G \rho} $ é a taxa base de geração de calor, e $ k $ é a condutividade térmica do material.

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