A análise dos perfis de temperatura e da transferência de calor em sistemas providos de uma fonte geradora de energia é requerida em algumas aplicações, as quais incluem, por exemplo, os processos de fissão nuclear, o aquecimento Joule, bem como o aquecimento microondas. Considere uma placa de espessura 2L, com largura e altura muito grandes comparadas a espessura, com geração interna de energia. Considere a situação na qual a taxa de geração de energia é linearmente dependente da temperatura local, de acordo com a equação:
Determine o perfil de temperatura dentro da placa, assumindo a condutividade térmica do material constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como a temperatura se distribui dentro de uma placa que gera calor internamente de um jeito que depende da própria temperatura. A matéria aqui é transferência de calor, especificamente condução térmica com geração interna de calor. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação da condução de calor com geração interna e resolver uma equação diferencial para encontrar o perfil de temperatura na placa.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar a placa como tendo uma espessura de
e que ela é bem grande nas outras direções, então só precisamos nos preocupar com a variação da temperatura na direção da espessura. A geração de calor interna é dada por:
Aqui,
é a taxa de geração de calor por unidade de volume,
é a taxa base de geração de calor,
é um coeficiente que mostra como essa geração de calor depende da temperatura
, e
é uma temperatura de referência.
Passo 3
Na condução de calor estacionária (sem variação no tempo) e unidimensional, a equação de condução com geração interna fica:
Onde:
-
é a segunda derivada da temperatura em relação à posição , -
é a condutividade térmica do material.
Passo 4
Vamos substituir a expressão de
na equação:
Isso simplifica para:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Para simplificar, definimos $ \gamma^2 = \frac{\dot{q}{G \rho} \beta}{k} $ e $ C = -\frac{\dot{q}{G \rho}}{k} + \frac{\dot{q}_{G \rho} \beta T_o}{k} $. Assim, temos:
Passo 6
Resolvendo a equação diferencial homogênea associada:
A solução geral é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições de contorno.
Passo 7
Agora, encontramos uma solução particular para a equação completa. Como o lado direito é uma constante, supomos uma solução constante
. Substituindo na equação:
Passo 8
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 9
Aplicamos as condições de contorno. Supondo que nas faces da placa (
) a temperatura é
:
Para
:
Para
:
Isso leva a:
Subtraindo as duas equações:
E então:
Passo 10
Substituindo
e
na solução geral:
Simplificando:
Resposta
O perfil de temperatura dentro da placa é dado por:
Onde $ \gamma = \sqrt{\frac{\dot{q}{G \rho} \beta}{k}} $, $ T_o $ é a temperatura de referência, $ \beta $ é o coeficiente de dependência da geração de calor com a temperatura, $ \dot{q}{G \rho} $ é a taxa base de geração de calor, e $ k $ é a condutividade térmica do material.