Determinar o perfil de temperatura num cilindro maciço de condutividade térmica
e raio
sob condições de regime permanente. Sabe-se que um fluido com temperatura
escoa sobre a superfície do cilindro com um coeficiente de conveç̧ão médio (h).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um cilindro maciço com condutividade térmica $ K $ e raio $ R $. Queremos descobrir como a temperatura varia dentro desse cilindro quando ele está em regime permanente, ou seja, quando a temperatura já estabilizou e não muda mais com o tempo. Além disso, sabemos que um fluido com temperatura $ T_{\infty} $ está passando por cima da superfície do cilindro, com um coeficiente de convecção médio $ h $. Para resolver isso, vamos precisar entender condução de calor em coordenadas cilíndricas e aplicar as condições de contorno de convecção.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na condução de calor dentro do cilindro. Como estamos lidando com um regime permanente e não há geração interna de calor, a equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas simplifica para:
Essa equação basicamente nos diz como a temperatura $ T $ varia com a distância radial $ r $ dentro do cilindro.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ r $:
Integrando em relação a $ r $:
Onde $ C_1 $ é uma constante de integração.
Passo 4
Isolando $ \frac{dT}{dr} $:
Integrando novamente para encontrar $ T® $:
Aqui, $ C_2 $ é outra constante de integração.
Passo 5
Agora, precisamos determinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ usando as condições de contorno. A primeira condição é a simetria no centro do cilindro ($ r = 0 $). Nesse ponto, a derivada da temperatura em relação a $ r $ deve ser zero para evitar uma singularidade:
Analisando a expressão $ \frac{dT}{dr} = \frac{C_1}{r} $, vemos que para que essa derivada seja finita quando $ r \to 0 $, $ C_1 $ deve ser zero.
Passo 6
Com $ C_1 = 0 $, a expressão para $ T® $ simplifica para:
Isso indica que, dentro do cilindro, a temperatura é constante e igual a $ C_2 $.
Passo 7
Agora, aplicamos a condição de contorno na superfície do cilindro ($ r = R $). A transferência de calor por convecção na superfície é dada por:
Mas já determinamos que $ \frac{dT}{dr} = 0 $, então:
Passo 8
Resolvendo para $ C_2 $:
Resposta
Portanto, o perfil de temperatura no cilindro maciço em regime permanente é constante e igual à temperatura do fluido que escoa sobre sua superfície: