Analise, quanto ao amortecimento, cada tipo de sistema massa-mola livre m x^{\prime \prime}+h x^{\prime}+k x=0, x(0)=x_{0} e x^{\prime}(0)=v_{0} utilizando Transformadas de Laplace: ( 3,0 pontos)
m=2 \quad k=50 \quad x_{0}=-1 \quad v_{0}=2 \quad e \quad h=12

Passo 1

Vamos entender exatamente o que o enunciado pede e quais dados temos. O problema dá a equação do movimento de um sistema massa-mola com amortecimento:
m x^{\prime\prime}+h x^{\prime}+k x=0,
com condições iniciais \;x(0)=x_0 e \;x'(0)=v_0. Os valores numéricos fornecidos são:
m=2,\qquad h=12,\qquad k=50,\qquad x_0=-1,\qquad v_0=2.
O pedido é: analisar o sistema quanto ao amortecimento (ou seja: subamortecido, criticamente amortecido ou sobreamortecido) e resolver a equação utilizando Transformada de Laplace.
No passo seguinte vamos aplicar a Transformada de Laplace e resolver passo a passo.

Passo 2

Breve lembrete sobre a Transformada de Laplace e fórmulas que vou usar (explicação didática).
  • A Transformada de Laplace de uma função x(t) é X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}(s)=\int_0^{\infty} e^{-st}x(t)\,dt. É uma ferramenta que transforma equações diferenciais em equações algébricas em s.
  • Regras úteis para derivadas (com condições iniciais): \mathcal{L}\{x'(t)\}(s)=sX(s)-x(0),
\mathcal{L}\{x''(t)\}(s)=s^2X(s)-s x(0)-x'(0).
Nessas fórmulas, X(s) é a transformada de x(t), x(0) é a condição inicial de posição e x'(0) a de velocidade.
  • Transformadas inversas padrão que iremos usar: \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+a}{(s+a)^2+b^2}\right\}=e^{-a t}\cos(bt),
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{b}{(s+a)^2+b^2}\right\}=e^{-a t}\sin(bt).
Vou aplicar essas regras à equação dada.

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace a cada termo da equação
m x^{\prime\prime}+h x^{\prime}+k x=0,
usando m=2, h=12, k=50, x(0)=x_0=-1, x'(0)=v_0=2.
Primeiro escrevo a Transformada geral:
m\big(s^2X(s)-s x(0)-x'(0)\big)+h\big(sX(s)-x(0)\big)+kX(s)=0.
Agora substituo os números:
2\big(s^2X(s)-s(-1)-2\big)+12\big(sX(s)-(-1)\big)+50X(s)=0.
Vou desenvolver os termos com calma:
  • 2(s^2X) = 2s^2 X(s).
  • 2(-s x(0)) = 2\big(-s(-1)\big)=+2s.
  • 2(-x'(0)) = 2(-2)=-4.
  • 12(sX(s)) = 12 s X(s).
  • 12(-x(0)) = 12(-(-1))=+12.
  • 50X(s)=50X(s).
Somando tudo:
2s^2 X(s) + 2s -4 + 12sX(s) +12 +50X(s)=0.
Agrupando os termos que multiplicam X(s) e os termos constantes:
X(s)\big(2s^2+12s+50\big) + (2s+8)=0,
pois -4+12=8.

Passo 4

Isolando X(s):
X(s)\big(2s^2+12s+50\big) = - (2s+8).
Dividindo por 2 para simplificar:
X(s)\big(s^2+6s+25\big) = - (s+4).
Portanto
X(s)= -\frac{s+4}{s^2+6s+25}.

Passo 5

Preparar para a inversa: completar o quadrado no denominador. Observação:
s^2+6s+25 = (s+3)^2 + 25 - 9 = (s+3)^2 + 16 = (s+3)^2 + 4^2.
Então
X(s)= -\frac{s+4}{(s+3)^2+4^2}.
Agora escrevo o numerador de maneira que combine com as formas conhecidas de inversa:
s+4 = (s+3) + 1,
então
X(s)= -\frac{(s+3)+1}{(s+3)^2+4^2} = -\frac{s+3}{(s+3)^2+4^2} - \frac{1}{(s+3)^2+4^2}.

Passo 6

Aplicar a transformada inversa usando fórmulas padrão:
  • Para -\dfrac{s+3}{(s+3)^2+4^2} a inversa é -e^{-3t}\cos(4t).
  • Para -\dfrac{1}{(s+3)^2+4^2} precisamos escrever \dfrac{1}{(s+3)^2+4^2}=\dfrac{4}{4}\cdot\dfrac{1}{(s+3)^2+4^2}=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{4}{(s+3)^2+4^2}. Assim \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+3)^2+4^2}\right\}=\frac{1}{4}e^{-3t}\sin(4t).
Com o sinal negativo, a segunda parcela dá -\dfrac{1}{4}e^{-3t}\sin(4t).
Somando as duas partes obtemos a solução no tempo:
x(t)= -e^{-3t}\cos(4t) - \frac{1}{4}e^{-3t}\sin(4t).
Posso factorar e^{-3t} se quiser deixar mais elegante:
x(t)= e^{-3t}\Big(-\cos(4t) - \tfrac{1}{4}\sin(4t)\Big).
Essa é a solução que satisfaz as condições iniciais dadas (pode-se verificar substituindo t=0: x(0)=-1; derivando e avaliando x'(0)=2).

Passo 7

Agora analisar o tipo de amortecimento (explicação didática e cálculo numérico).
  • A equação característica (dividindo por m) é r^2 + \frac{h}{m} r + \frac{k}{m}=0.Aqui \frac{h}{m}= \frac{12}{2}=6 e \frac{k}{m}=\frac{50}{2}=25, então a característica é r^2+6r+25=0.
  • O discriminante é \Delta = (6)^2 - 4\cdot1\cdot25 =36-100=-64 <0.Discriminante negativo implica raízes complexas conjugadas com parte real negativa: caso subamortecido (ou subamortecimento).
  • Também é útil usar o coeficiente de amortecimento (\emph{damping ratio}) \zeta: \zeta=\frac{h}{2\sqrt{mk}}.Calculo \sqrt{mk}=\sqrt{2\cdot50}=\sqrt{100}=10. Então \zeta=\frac{12}{2\cdot10}=\frac{12}{20}=0{,}6.Como \zeta<1, o sistema é subamortecido (oscilações amortecidas).
  • A frequência natural não amortecida é \omega_n=\sqrt{k/m}=\sqrt{25}=5\\ \text{rad/s}.
    A frequência amornada (frequência das oscilações) é \omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=5\sqrt{1-0{,}6^2}=5\sqrt{0{,}64}=5\cdot0{,}8=4\\ \text{rad/s}.Repare que na solução obtida aparece exatamente o exponencial e^{-3t} (onde 3=\zeta\omega_n) e seno/cosseno com frequência 4, como encontrado: x(t)=e^{-3t}(\cdots\cos 4t + \cdots\sin 4t).

Passo 8

Interpretação física e checagem final (didática e motivadora).
  • A solução encontrada x(t)= e^{-3t}\Big(-\cos(4t) - \tfrac{1}{4}\sin(4t)\Big)descreve oscilações com frequência angular \omega_d=4 rad/s e amplitude que decai exponencialmente com taxa 3 (ou seja, envelope \propto e^{-3t}).
  • Resumindo com palavras: o sistema é subamortecido (oscila com amortecimento), as oscilações têm frequência 4 rad/s e o fator de amortecimento provoca decaimento exponencial com constante 3.

Resposta

Tipo de amortecimento: subamortecido (ζ = 0,6 < 1).
Solução obtida por Transformada de Laplace: x(t)= e^{-3t}\Big(-\cos(4t)-\tfrac{1}{4}\sin(4t)\Big).

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