Analise, quanto ao amortecimento, cada tipo de sistema massa-mola livre
e
utilizando Transformadas de Laplace: ( 3,0 pontos)
e
Passo 1
Vamos entender exatamente o que o enunciado pede e quais dados temos. O problema dá a equação do movimento de um sistema massa-mola com amortecimento:
com condições iniciais
e
. Os valores numéricos fornecidos são:
O pedido é: analisar o sistema quanto ao amortecimento (ou seja: subamortecido, criticamente amortecido ou sobreamortecido) e resolver a equação utilizando Transformada de Laplace.
No passo seguinte vamos aplicar a Transformada de Laplace e resolver passo a passo.
No passo seguinte vamos aplicar a Transformada de Laplace e resolver passo a passo.
Passo 2
Breve lembrete sobre a Transformada de Laplace e fórmulas que vou usar (explicação didática).
- A Transformada de Laplace de uma função
é . É uma ferramenta que transforma equações diferenciais em equações algébricas em . - Regras úteis para derivadas (com condições iniciais):
Nessas fórmulas,
é a transformada de
,
é a condição inicial de posição e
a de velocidade.
- Transformadas inversas padrão que iremos usar:
Vou aplicar essas regras à equação dada.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace a cada termo da equação
usando
,
,
,
,
.
Primeiro escrevo a Transformada geral:
Agora substituo os números:
Vou desenvolver os termos com calma:
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
Somando tudo:
Agrupando os termos que multiplicam
e os termos constantes:
pois
.
Passo 4
Isolando
:
Dividindo por
para simplificar:
Portanto
Passo 5
Preparar para a inversa: completar o quadrado no denominador. Observação:
Então
Agora escrevo o numerador de maneira que combine com as formas conhecidas de inversa:
então
Passo 6
Aplicar a transformada inversa usando fórmulas padrão:
- Para
a inversa é . - Para
precisamos escrever . Assim
Com o sinal negativo, a segunda parcela dá
.
Somando as duas partes obtemos a solução no tempo:
Posso factorar
se quiser deixar mais elegante:
Essa é a solução que satisfaz as condições iniciais dadas (pode-se verificar substituindo
:
; derivando e avaliando
).
Passo 7
Agora analisar o tipo de amortecimento (explicação didática e cálculo numérico).
- A equação característica (dividindo por
) é Aqui e , então a característica é . - O discriminante é
Discriminante negativo implica raízes complexas conjugadas com parte real negativa: caso subamortecido (ou subamortecimento). - Também é útil usar o coeficiente de amortecimento (\emph{damping ratio})
: Calculo . Então Como , o sistema é subamortecido (oscilações amortecidas). - A frequência natural não amortecida é
.
A frequência amornada (frequência das oscilações) éRepare que na solução obtida aparece exatamente o exponencial (onde ) e seno/cosseno com frequência , como encontrado: .
Passo 8
Interpretação física e checagem final (didática e motivadora).
- A solução encontrada
descreve oscilações com frequência angular rad/s e amplitude que decai exponencialmente com taxa (ou seja, envelope ). - Resumindo com palavras: o sistema é subamortecido (oscila com amortecimento), as oscilações têm frequência
rad/s e o fator de amortecimento provoca decaimento exponencial com constante .
Resposta
Tipo de amortecimento: subamortecido (ζ = 0,6 < 1).
Solução obtida por Transformada de Laplace: