Analise, quanto ao amortecimento, cada tipo de sistema massa-mola livre m x^{\prime \prime}+h x^{\prime}+k x=0, x(0)=x_{0} e x^{\prime}(0)=v_{0} utilizando Transformadas de Laplace: ( 3,0 pontos)
m=2 \quad k=50 \quad x_{0}=-1 \quad v_{0}=2 \quad e \quad h=52

Passo 1

O enunciado fornece o sistema massa-mola livre com condições iniciais e pede que se analise o amortecimento usando Transformadas de Laplace. Dados fornecidos:
m=2,\qquad k=50,\qquad x(0)=x_0=-1,\qquad x'(0)=v_0=2,\qquad h=52.
O que se pede:
  • Resolver (usar Transformadas de Laplace) a equação
m x''+h x'+k x=0,\qquad x(0)=x_0,\\ x'(0)=v_0,
com os valores acima e obter x(t).
  • Analisar o tipo de amortecimento (subamortecido, amortecimento crítico ou superamortecido) para esses parâmetros.

Passo 2

Aplicando a Transformada de Laplace às derivadas: lembrete prático (fórmulas fundamentais).
  • Se X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\} então
\mathcal{L}\{x'(t)\}=sX(s)-x(0), \qquad \mathcal{L}\{x''(t)\}=s^{2}X(s)-s x(0)-x'(0).
Essas fórmulas surgem da definição da transformada e são essenciais para transformar a EDO em álgebra no domínio de s.
Agora aplico a Transformada de Laplace à equação
m x''+h x'+k x=0.
Usando as fórmulas acima, obtemos
m\bigl(s^{2}X(s)-s x(0)-x'(0)\bigr)+h\bigl(sX(s)-x(0)\bigr)+kX(s)=0.

Passo 3

Agrupando os termos em X(s) e isolando X(s):
X(s)\bigl(m s^{2}+h s+k\bigr)=m s x(0)+m x'(0)+h x(0).
Portanto
X(s)=\dfrac{m s x(0)+m x'(0)+h x(0)}{m s^{2}+h s+k}.
Agora substituo os valores numéricos m=2,\\ x(0)=-1,\\ x'(0)=2,\\ h=52,\\ k=50:
\text{numerador}=2 s(-1)+2\cdot 2+52(-1)=-2s+4-52=-2s-48=-2(s+24).
\text{denominador}=2 s^{2}+52 s+50=2\bigl(s^{2}+26 s+25\bigr).
Logo
X(s)=\dfrac{-2(s+24)}{2\bigl(s^{2}+26 s+25\bigr)}=\dfrac{-(s+24)}{s^{2}+26 s+25}.

Passo 4

Para inverter a transformada, fatoro o polinômio do denominador. Encontro as raízes de
s^{2}+26 s+25=0.
Calculo o discriminante e as raízes:
\Delta=26^{2}-4\cdot1\cdot25=676-100=576=(24)^{2}.
As raízes são
s=\dfrac{-26\pm 24}{2}\quad\Rightarrow\quad s_{1}=-1,\quad s_{2}=-25.
Como as duas raízes são reais e distintas (ambas negativas), isso indica que o sistema é superamortecido (ou seja, não há oscilações; a resposta é soma de decaimentos exponenciais). Uma forma direta de ver isso é usar o discriminante da equação característica do sistema original:
\Delta_h = h^{2}-4 m k = 52^{2}-4\cdot2\cdot50=2704-400=2304>0,
portanto \Delta_h>0 implica amortecimento do tipo superamortecido (raízes reais distintas).

Passo 5

Escrevo X(s) em termos dos fatores lineares:
X(s)=\dfrac{-(s+24)}{(s+1)(s+25)}.
Faço decomposição em frações parciais:
\dfrac{-(s+24)}{(s+1)(s+25)}=\dfrac{A}{s+1}+\dfrac{B}{s+25}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+25) obtém-se
-(s+24)=A(s+25)+B(s+1).
Determino A e B por substituição de s conveniente:
  • Para s=-1: -(-1+24)=-23= A(24)\Rightarrow A=-\dfrac{23}{24}.
  • Para s=-25: -(-25+24)=1= B(-24)\Rightarrow B=-\dfrac{1}{24}.
    Logo
X(s)=-\dfrac{23}{24}\cdot\dfrac{1}{s+1}-\dfrac{1}{24}\cdot\dfrac{1}{s+25}.

Passo 6

Inverto a transformada termo a termo usando \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+a}\}=e^{-a t}:
x(t)=-\dfrac{23}{24}e^{-t}-\dfrac{1}{24}e^{-25 t}.
Verificação rápida das condições iniciais:
x(0)=-\dfrac{23}{24}-\dfrac{1}{24}=-1,
x'(t)=\dfrac{23}{24}e^{-t}+\dfrac{25}{24}e^{-25 t}\quad\Rightarrow\quad x'(0)=\dfrac{23}{24}+\dfrac{25}{24}=\dfrac{48}{24}=2,
conferindo x(0)=x_0 e x'(0)=v_0.

Resposta

x(t)=-\dfrac{23}{24}e^{-t}-\dfrac{1}{24}e^{-25t}\n
Amortecimento: superamortecido (raízes reais e distintas), pois h^{2}-4mk=2304>0.

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