Analise, quanto ao amortecimento, cada tipo de sistema massa-mola livre
e
utilizando Transformadas de Laplace: ( 3,0 pontos)
e
Passo 1
O enunciado fornece o sistema massa-mola livre com condições iniciais e pede que se analise o amortecimento usando Transformadas de Laplace. Dados fornecidos:
O que se pede:
- Resolver (usar Transformadas de Laplace) a equação
com os valores acima e obter
.
- Analisar o tipo de amortecimento (subamortecido, amortecimento crítico ou superamortecido) para esses parâmetros.
Passo 2
Aplicando a Transformada de Laplace às derivadas: lembrete prático (fórmulas fundamentais).
- Se
então
Essas fórmulas surgem da definição da transformada e são essenciais para transformar a EDO em álgebra no domínio de
.
Agora aplico a Transformada de Laplace à equação
Usando as fórmulas acima, obtemos
Passo 3
Agrupando os termos em
e isolando
:
Portanto
Agora substituo os valores numéricos
:
Logo
Passo 4
Para inverter a transformada, fatoro o polinômio do denominador. Encontro as raízes de
Calculo o discriminante e as raízes:
As raízes são
Como as duas raízes são reais e distintas (ambas negativas), isso indica que o sistema é superamortecido (ou seja, não há oscilações; a resposta é soma de decaimentos exponenciais). Uma forma direta de ver isso é usar o discriminante da equação característica do sistema original:
portanto
implica amortecimento do tipo superamortecido (raízes reais distintas).
Passo 5
Escrevo
em termos dos fatores lineares:
Faço decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
obtém-se
Determino
e
por substituição de
conveniente:
- Para
: - Para
:
Logo
Passo 6
Inverto a transformada termo a termo usando
:
Verificação rápida das condições iniciais:
conferindo
e
.
Resposta
Amortecimento: superamortecido (raízes reais e distintas), pois