Questão 02 (Ita 2020) -

Um satélite artificial viaja em direção a um planeta ao longo de uma trajetória parabólica. A uma distância d desse corpo celeste, propulsores são acionados de modo a, a partir daquele instante, mudar o módulo da velocidade do satélite de v_{p}, para v_{e} e também a sua trajetória, que passa a ser elíptica em torno do planeta, com semieixo maior a. Sendo a massa do satélite desproporcionalmente menor que a do planeta, a razão v_{e} / v_{p} é dada por
a) \sqrt{\frac{d}{a}-\frac{1}{2}}.
b) \sqrt{\frac{d}{2 a}}.
c) \sqrt{1-\frac{d}{2 a}}.
d) \sqrt{1+\frac{d}{2 a}}.
e) \sqrt{1-\frac{d}{a}}.

Passo 1

O enunciado trata de mecânica orbital: inicialmente o satélite está em trajetória parabólica em torno do planeta (energia específica nula) e, no ponto de maior aproximação r=d, a velocidade muda de \displaystyle v_{p} para \displaystyle v_{e} e a órbita passa a ser elíptica, com semieixo maior a. Vamos usar a conservação da energia específica por unidade de massa:
\mathcal{E} = \frac{v^2}{2} - \frac{\mu}{r},
onde \displaystyle \mu = GM.

Passo 2

Como a trajetória inicial é parabólica, a energia específica é zero quando r=d. Logo,
0 = \frac{v_{p}^2}{2} - \frac{\mu}{d} \quad\Longrightarrow\quad v_{p}^2 = \frac{2\mu}{d}.

Passo 3

Na nova órbita elíptica, a energia específica vale \displaystyle \mathcal{E} = -\frac{\mu}{2a}. No ponto r=d temos
-\frac{\mu}{2a} = \frac{v_{e}^2}{2} - \frac{\mu}{d} \quad\Longrightarrow\quad \frac{v_{e}^2}{2} = \frac{\mu}{d} - \frac{\mu}{2a} \quad\Longrightarrow\quad v_{e}^2 = \frac{2\mu}{d} - \frac{\mu}{a}.

Passo 4

Comparando com v_{p}^2 = 2\mu/d, escrevemos
v_{e}^2 = v_{p}^2 - \frac{\mu}{a} = v_{p}^2\Bigl(1 - \frac{d}{2a}\Bigr),
pois \displaystyle \mu = \tfrac{v_{p}^2\,d}{2}. Assim,
\frac{v_{e}}{v_{p}} = \sqrt{1 - \frac{d}{2a}}.

Resposta

c) \displaystyle \sqrt{1-\frac{d}{2a}}

Exercícios relacionados