Analise as seguintes afirmações sobre pontos de separação:
I. Um ponto de separação é um ponto no qual dois ramos se encontram e se separam;
II. Todas as raízes de d G(s)d s=0 são pontos de separação;
III. Pontos de separação estão localizados sobre o eixo real do plano complexo-s que fazem parte do Diagrama de Lugar das Raízes.
Assinale a alternativa correta:
a) A afirmação I é verdadeira, a afirmação II é verdadeira e a afirmação III é falsa
b) A afirmação I é verdadeira, a afirmação II é falsa e a afirmação III é falsa
c) A afirmação I é verdadeira, a afirmação II é falsa e a afirmação III é verdadeira e justifica a afirmação II ser falsa
d) A afirmação I é falsa, a afirmação II é falsa e a afirmação III é verdadeira e justifica a afirmação II ser falsa
e) A afirmação I é falsa, a afirmação II é verdadeira e a afirmação III é falsa

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra analisar três afirmações sobre pontos de separação (breakaway/break-in) no Diagrama de Lugar das Raízes (Root Locus). A matéria é Lugar das Raízes em sistemas de controle, e a teoria principal que precisamos envolve:
  1. O que é ponto de separação (breakaway/break-in);
  2. Como achamos esses pontos usando a condição de derivada (o tal de );
  3. O fato de eles só aparecerem em trechos do eixo real que pertencem ao locus.

Passo 2

Antes de tudo, lembra do que é ponto de separação: num lugar das raízes, há trechos do eixo real em que dois ramos do locus se encontram, “se separam” (breakaway) ou “se juntam” (break-in) conforme variamos o ganho dKds=0 . A gente encontra esses pontos resolvendo
dKds = 0 Leftrightarrow ddsl(-tfrac1G(s)r)=0 Leftrightarrow dG(s)ds=0
Como para o Root Locus , daí
Mas atenção: só as raízes dessa equação que também estiverem num segmento válido do eixo real (o qual satisfaz a condição de ângulo) são pontos de separação de fato.

Passo 3

Vamos ver a afirmação I:
“I. Um ponto de separação é um ponto no qual dois ramos se encontram e se separam.”
— Isso é exatamente a definição de breakaway/break-in no Root Locus.
Logo, I é verdadeira.

Passo 4

Agora a afirmação II:
“II. Todas as raízes de são pontos de separação.”
— Como vimos, a condição gera candidatas a pontos de separação, mas só são válidas aquelas que também estão no trecho do eixo real pertencente ao locus (respeitando a condição de ângulo de , etc.).
Então nem toda raiz de vira breakaway de verdade.
Portanto, II é falsa.

Passo 5

Por fim, a afirmação III:
“III. Pontos de separação estão localizados sobre o eixo real do plano complexo-s que fazem parte do Diagrama de Lugar das Raízes.”
— Sim, breakaway e break-in sempre ocorrem em trechos do eixo real que satisfazem as regras do lugar das raízes.
Logo, III é verdadeira.

Resposta

A alternativa correta é a letra c):
I é verdadeira, II é falsa e III é verdadeira (e a III explica por que nem toda raiz de vira ponto de separação).

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