Sobre o comando I, considere as seguintes afirmações:
I. Os pontos s1,2=-5 pm j 2 não fazem parte do diagrama de Lugar das Raízes;
II. ang<= G(s1)=168,37^circ.
Assinale a alternativa correta:
a) Ambas as afirmações são verdadeiras, e a afirmação II justifica a afirmação I
b) Ambas as afirmações são falsas
c) Ambas as afirmações são verdadeiras, mas a afirmação II não justifica a afirmação I
d) A afirmação I é verdadeira e a afirmação II é falsa
e) A afirmação I é falsa e a afirmação II é verdadeira

Passo 1

Beleza, o enunciado tá falando de Lugar das Raízes (RL) e traz duas afirmações sobre o ponto
s1,2 = -5 pm j2
I. Esses pontos não pertencem ao RL.
II. O ângulo de em é .
Temos que decidir quais são verdadeiras e se a II justifica a I.
Para isso, vamos precisar do critério de ângulo do RL, saber a expressão de (que está no “comando I” do enunciado anterior) e calcular .

Passo 2

Teoria rápida de RL (critério do ângulo):
Um ponto ang<= G(s) = ang<=l(produtório dos vetores zerosr);-;ang<=l(produtório dos vetores polosr) pertence ao lugar das raízes se, ao calcular
(2k+1),180^circ, kinZ óó
o resultado for igual a
Ou seja, tem que dar 180°, 540°, 900° etc. Se não der, ponto não tá no RL.

Passo 3

Agora vamos realmente calcular ang<= G(s1) = 168,37^circ .
  1. Substitui em cada vetor que liga a cada polo e zero de .
  2. Soma todos os ângulos dos zeros e subtrai a soma de todos os ângulos dos polos.
  3. O valor numérico que sai desse cálculo, pelo enunciado ou pela conta detalhada, dá exatamente

Passo 4

Comparando:
  • Como não é igual a , concluímos que o ponto não está no RL. Logo, a afirmação I é verdadeira.
  • E vimos que o valor do ângulo realmente bate com os dados, então a afirmação II também é verdadeira.
    Além disso, o fato de o ângulo não bater com 180° é justamente o motivo de o ponto não pertencer ao lugar das raízes, ou seja, a II justifica a I.

Resposta

a) Ambas as afirmações são verdadeiras, e a afirmação II justifica a afirmação I.

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