Analise os seguintes limites:
.
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- O numerador é
, que vale em . - O denominador é
, que também vale em . - Portanto, ao substituir
obtemos uma forma indeterminada . - Precisamos decidir se esse quociente tende a um número finito, a
, a ou não existe (por diferenças entre os limites laterais).
Passo 2
Vou apresentar duas formas didáticas de analisar esse limite:
- Usando equivalentes (pegar o comportamento principal de cada parte quando
), que dá muita intuição. - Usando a Regra de L’Hôpital (mais sistemática e rigorosa).
Explico por que escolhi: os equivalentes mostram rapidamente o comportamento; L’Hôpital confirma de forma rigorosa. Vou fazer os dois para você ter segurança.
Passo 3
Lembrança importante (equivalente): temos o limite fundamental
que significa que, quando
,
é equivalente a
(escrevemos
). Consequência imediata:
ou seja,
comporta-se como
quando
.
Também sabemos a expansão de
em potência de
(série de Taylor em
):
Portanto
Agora substituímos os equivalentes no quociente:
Esse desenvolvimento mostra claramente que, quando
, a expressão principal é
. Portanto:
- Se
(pela direita) então , logo o quociente tende a . - Se
(pela esquerda) então , logo o quociente tende a .
Conclusão pela via dos equivalentes: o limite bilateral não existe (diverge), os limites laterais são
e
.
Passo 4
Confirmação usando a Regra de L’Hôpital (rígida):
- As funções do numerador e do denominador são diferenciáveis perto de
e formam , então podemos aplicar L’Hôpital.
Diferenciando numerador e denominador:
Pelo L’Hôpital,
Agora, ao avaliar o novo quociente quando
, o numerador tende a
e o denominador tende a
. Mais precisamente, usando
, obtemos
que diverge para
quando
e diverge para
quando
. Isso confirma o resultado do passo anterior: o limite bilateral não existe e os limites laterais são opostos infinitos.
Passo 5
Interpretação final e incentivo: o comportamento de crescer como
(ou
no desenvolvimento direto) deixa claro que a fração explode quando
se aproxima de zero. Não se assuste com os fatores nas aproximações intermedárias — o ponto essencial é que o denominador é de ordem
enquanto o numerador é de ordem
, então o quociente tem ordem
e diverge. Você está indo bem por seguir passo a passo!