Analise os seguintes limites:
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{e^{2 t}-1}{\operatorname{sen}(t)^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{t\to 0}\frac{e^{2t}-1}{\operatorname{sen}(t)^{2}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O numerador é e^{2t}-1, que vale 0 em t=0.
  • O denominador é \operatorname{sen}(t)^{2}, que também vale 0 em t=0.
  • Portanto, ao substituir t=0 obtemos uma forma indeterminada \tfrac{0}{0}.
  • Precisamos decidir se esse quociente tende a um número finito, a +\infty, a -\infty ou não existe (por diferenças entre os limites laterais).

Passo 2

Vou apresentar duas formas didáticas de analisar esse limite:
  1. Usando equivalentes (pegar o comportamento principal de cada parte quando t\to0), que dá muita intuição.
  2. Usando a Regra de L’Hôpital (mais sistemática e rigorosa).
Explico por que escolhi: os equivalentes mostram rapidamente o comportamento; L’Hôpital confirma de forma rigorosa. Vou fazer os dois para você ter segurança.

Passo 3

Lembrança importante (equivalente): temos o limite fundamental
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1,
que significa que, quando x\to0, \operatorname{sen}x é equivalente a x (escrevemos \operatorname{sen}x\sim x). Consequência imediata:
\operatorname{sen}^2 x \sim x^2\qquad (x\to0),
ou seja, \operatorname{sen}^2 t comporta-se como t^2 quando t\to0.
Também sabemos a expansão de e^{2t} em potência de t (série de Taylor em 0):
e^{2t}=1+2t+\frac{(2t)^2}{2!}+\cdots = 1+2t+2t^2+\mathcal{O}(t^3).
Portanto
e^{2t}-1 = 2t + 2t^2 + \mathcal{O}(t^3).
Agora substituímos os equivalentes no quociente:
\frac{e^{2t}-1}{\operatorname{sen}^2 t} \sim \frac{2t + 2t^2 + \mathcal{O}(t^3)}{t^2} = \frac{2t}{t^2} + \frac{2t^2}{t^2} + \mathcal{O}(t) = \frac{2}{t} + 2 + \mathcal{O}(t).
Esse desenvolvimento mostra claramente que, quando t\to0, a expressão principal é \dfrac{2}{t}. Portanto:
  • Se t\to0^+ (pela direita) então \dfrac{2}{t}\to +\infty, logo o quociente tende a +\infty.
  • Se t\to0^- (pela esquerda) então \dfrac{2}{t}\to -\infty, logo o quociente tende a -\infty.
Conclusão pela via dos equivalentes: o limite bilateral não existe (diverge), os limites laterais são +\infty e -\infty.

Passo 4

Confirmação usando a Regra de L’Hôpital (rígida):
  • As funções do numerador e do denominador são diferenciáveis perto de 0 e formam \tfrac{0}{0}, então podemos aplicar L’Hôpital.
    Diferenciando numerador e denominador:
\frac{d}{dt}\big(e^{2t}-1\big)=2e^{2t},\qquad \frac{d}{dt}\big(\operatorname{sen}^2 t\big)=2\operatorname{sen}t\cos t=\operatorname{sen}(2t).
Pelo L’Hôpital,
\lim_{t\to 0}\frac{e^{2t}-1}{\operatorname{sen}^2 t} = \lim_{t\to 0}\frac{2e^{2t}}{\operatorname{sen}(2t)}.
Agora, ao avaliar o novo quociente quando t\to0, o numerador tende a 2 e o denominador tende a 0. Mais precisamente, usando \operatorname{sen}(2t)\sim 2t, obtemos
\frac{2e^{2t}}{\operatorname{sen}(2t)} \sim \frac{2}{2t}=\frac{1}{t},
que diverge para +\infty quando t\to0^+ e diverge para -\infty quando t\to0^-. Isso confirma o resultado do passo anterior: o limite bilateral não existe e os limites laterais são opostos infinitos.

Passo 5

Interpretação final e incentivo: o comportamento de crescer como 1/t (ou 2/t no desenvolvimento direto) deixa claro que a fração explode quando t se aproxima de zero. Não se assuste com os fatores nas aproximações intermedárias — o ponto essencial é que o denominador é de ordem t^2 enquanto o numerador é de ordem t, então o quociente tem ordem 1/t e diverge. Você está indo bem por seguir passo a passo!

Resposta

\displaystyle \text{o limite bilateral não existe.}ã
\displaystyle \lim_{t\to 0^{+}}\frac{e^{2t}-1}{\operatorname{sen}^2 t}=+\infty
\displaystyle \lim_{t\to 0^{-}}\frac{e^{2t}-1}{\operatorname{sen}^2 t}=-\infty

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