Analise os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} x^{4} \operatorname{sen}\left(\frac{10}{x}\right).

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor do limite
\lim_{x\to 0} x^{4}\operatorname{sen}\!\left(\frac{10}{x}\right).
Informações dadas: a expressão envolve a função seno aplicada a \frac{10}{x} e multiplicada por x^{4}. Estamos interessados em x se aproximando de 0 (pela esquerda e pela direita). Observação: vou usar a notação habitual \sin no lugar de \operatorname{sen}, pois representam a mesma função trigonométrica.

Passo 2

Propriedade importante do seno (que vamos usar): para todo número real t vale
-1 \le \sin t \le 1.
Explicação rápida e amigável: a função seno mede uma razão num triângulo ou uma coordenada numa circunferência unitária; seus valores nunca saem do intervalo [-1,1]. Isso é uma propriedade básica e confiável que vamos explorar.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao argumento t=\dfrac{10}{x} obtemos, para todo x\neq 0,
-1 \le \sin\!\left(\frac{10}{x}\right) \le 1.
Agora multiplicamos essa desigualdade por x^{4}. Antes, uma observação: \,x^{4}\ge 0 para todo x, pois qualquer número elevado a uma potência par dá um resultado não negativo. Como multiplicamos por uma quantidade não negativa, as desigualdades são preservadas. Assim:
-x^{4} \le x^{4}\sin\!\left(\frac{10}{x}\right) \le x^{4}.

Passo 4

Calcular os limites das funções que aparecem nas bordas do confronto:
\lim_{x\to 0} (-x^{4}) = 0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0} x^{4} = 0.
Explicação: funções polinomiais são contínuas e \lim_{x\to 0} x^{4}=0 porque quando x fica pequeno, x^{4} fica ainda muito menor (por exemplo, 0{,}1^{4}=0{,}0001). O mesmo vale para -x^{4}.

Passo 5

Aplico o Teorema do Confronto (Teorema do Aperto / Squeeze Theorem): se uma função g(x) satisfaz
a(x) \le g(x) \le b(x)
numa vizinhança de 0 (exceto possivelmente em 0), e se
\lim_{x\to 0} a(x)=\lim_{x\to 0} b(x)=L,
então \lim_{x\to 0} g(x)=L. No nosso caso a(x)=-x^{4}, g(x)=x^{4}\sin(10/x) e b(x)=x^{4}, e ambos a(x) e b(x) têm limite 0. Portanto
\lim_{x\to 0} x^{4}\sin\!\left(\frac{10}{x}\right)=0.

Passo 6

Intuição final (para fixar): a parte \sin\!\left(\frac{10}{x}\right) oscila muito quando x se aproxima de 0 (vai de -1 a 1 infinitas vezes), mas está sempre limitada entre -1 e 1. Multiplicar essa oscilação por x^{4}, que tende rapidamente a 0, “apaga” as oscilações: mesmo que o seno oscile, o fator x^{4} força o produto a zero. Por isso o limite é 0.

Resposta

0

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