Analise os seguintes limites:
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o valor do limite
Informações dadas: a expressão envolve a função seno aplicada a
e multiplicada por
. Estamos interessados em
se aproximando de
(pela esquerda e pela direita). Observação: vou usar a notação habitual
no lugar de
, pois representam a mesma função trigonométrica.
Passo 2
Propriedade importante do seno (que vamos usar): para todo número real
vale
Explicação rápida e amigável: a função seno mede uma razão num triângulo ou uma coordenada numa circunferência unitária; seus valores nunca saem do intervalo
. Isso é uma propriedade básica e confiável que vamos explorar.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao argumento
obtemos, para todo
,
Agora multiplicamos essa desigualdade por
. Antes, uma observação:
para todo
, pois qualquer número elevado a uma potência par dá um resultado não negativo. Como multiplicamos por uma quantidade não negativa, as desigualdades são preservadas. Assim:
Passo 4
Calcular os limites das funções que aparecem nas bordas do confronto:
Explicação: funções polinomiais são contínuas e
porque quando
fica pequeno,
fica ainda muito menor (por exemplo,
). O mesmo vale para
.
Passo 5
Aplico o Teorema do Confronto (Teorema do Aperto / Squeeze Theorem): se uma função
satisfaz
numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
), e se
então
. No nosso caso
,
e
, e ambos
e
têm limite
. Portanto
Passo 6
Intuição final (para fixar): a parte
oscila muito quando
se aproxima de
(vai de
a
infinitas vezes), mas está sempre limitada entre
e
. Multiplicar essa oscilação por
, que tende rapidamente a
, “apaga” as oscilações: mesmo que o seno oscile, o fator
força o produto a zero. Por isso o limite é
.