Calcule a’s funções derivadas das funções
:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
dada por
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A função é uma composição de três funções: primeiro
, depois aplicada a , e por fim aplicada a . Em resumo, . - Para que
esteja definida precisamos de (pois o argumento do deve ser positivo); a derivada só faz sentido nos pontos do domínio onde .
Passo 2
Princípio usado: Regra da cadeia. Vou explicar direitinho.
A regra da cadeia diz que, se você tem uma função composta , então a derivada é
A regra da cadeia diz que, se você tem uma função composta
O que isso significa: você deriva a função externa
em termos da variável interna, avalia em
, e multiplica pela derivada da função interna
. Cada símbolo:
-
é a derivada de com respeito à sua variável; -
é a derivada de com respeito a ; - o produto é obrigatório: sempre multiplica a taxa de variação externa pela taxa de variação interna.
Exemplo rápido (para fixar): se
, apliquei a cadeia com
e
. Então
Passo 3
Identificação das funções internas nesta questão e aplicação da regra da cadeia em etapas:
Definimos
Definimos
Então, pela regra da cadeia aplicada em cascata,
Agora vamos calcular cada derivada simples separadamente.
Passo 4
Derivada da função externa
:
A regra básica é
A regra básica é
Aplicando em
obtemos
Passo 5
Derivada da função intermediária
:
A regra básica é
A regra básica é
Aplicando em
obtemos
Passo 6
Derivada da função interna
:
A derivada do exponencial é simples e muito importante:
A derivada do exponencial é simples e muito importante:
Portanto
Passo 7
Agora juntamos tudo (produto das três derivadas obtidas):
Simplificando os sinais e a razão
, ficamos com
Observação sobre domínio: essa expressão é válida nos pontos onde
está definida e a divisão por
faz sentido, ou seja, onde
(para o log) e, mais genericamente, onde
.