Calcule a’s funções derivadas das funções y=f(x) :
f(x)=\ln \left(\cos \left(e^{x}\right)\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função y=f(x) dada por
f(x)=\ln\big(\cos\big(e^{x}\big)\big).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função é uma composição de três funções: primeiro v(x)=e^{x}, depois u(t)=\cos(t) aplicada a t=v(x), e por fim f(s)=\ln(s) aplicada a s=u(v(x)). Em resumo, f(x)=\ln\big(u(v(x))\big).
  • Para que f(x) esteja definida precisamos de \cos\big(e^{x}\big)>0 (pois o argumento do \ln deve ser positivo); a derivada só faz sentido nos pontos do domínio onde \cos\big(e^{x}\big)\neq 0.

Passo 2

Princípio usado: Regra da cadeia. Vou explicar direitinho.
A regra da cadeia diz que, se você tem uma função composta F(x)=G(H(x)), então a derivada é
F'(x)=G'\big(H(x)\big)\cdot H'(x).
O que isso significa: você deriva a função externa G em termos da variável interna, avalia em H(x), e multiplica pela derivada da função interna H'(x). Cada símbolo:
  • G' é a derivada de G com respeito à sua variável;
  • H'(x) é a derivada de H com respeito a x;
  • o produto é obrigatório: sempre multiplica a taxa de variação externa pela taxa de variação interna.
Exemplo rápido (para fixar): se F(x)=\ln(\sin x), apliquei a cadeia com G(s)=\ln s e H(x)=\sin x. Então
F'(x)=\frac{1}{\sin x}\cdot \cos x = \cot x.

Passo 3

Identificação das funções internas nesta questão e aplicação da regra da cadeia em etapas:
Definimos
v(x)=e^{x},\qquad u(t)=\cos t\quad(\text{com }t=v(x)),\qquad g(s)=\ln s\quad(\text{com }s=u(v(x))).
Então, pela regra da cadeia aplicada em cascata,
f'(x)=g'\big(u(v(x))\big)\cdot u'\big(v(x)\big)\cdot v'(x).
Agora vamos calcular cada derivada simples separadamente.

Passo 4

Derivada da função externa g(s)=\ln s:
A regra básica é
\frac{d}{ds}\ln s=\frac{1}{s}.
Aplicando em s=u(v(x)) obtemos
g'\big(u(v(x))\big)=\frac{1}{u(v(x))}=\frac{1}{\cos\big(e^{x}\big)}.

Passo 5

Derivada da função intermediária u(t)=\cos t:
A regra básica é
\frac{d}{dt}\cos t=-\sin t.
Aplicando em t=v(x)=e^{x} obtemos
u'\big(v(x)\big)=-\sin\big(e^{x}\big).

Passo 6

Derivada da função interna v(x)=e^{x}:
A derivada do exponencial é simples e muito importante:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Portanto
v'(x)=e^{x}.

Passo 7

Agora juntamos tudo (produto das três derivadas obtidas):
f'(x)=\frac{1}{\cos\big(e^{x}\big)}\cdot\big(-\sin\big(e^{x}\big)\big)\cdot e^{x}.
Simplificando os sinais e a razão \dfrac{\sin}{\cos}=\tan, ficamos com
f'(x)=-e^{x}\,\tan\big(e^{x}\big).
Observação sobre domínio: essa expressão é válida nos pontos onde f está definida e a divisão por \cos\big(e^{x}\big) faz sentido, ou seja, onde \cos\big(e^{x}\big)>0 (para o log) e, mais genericamente, onde \cos\big(e^{x}\big)\neq 0.

Resposta

f'(x)=-e^{x}\tan\big(e^{x}\big)

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