Analise os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \operatorname{tg}\left(\frac{1-\cos (x)}{x}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 0} \operatorname{tg}\!\left(\frac{1-\cos(x)}{x}\right).
Informações dadas: a função trigonométrica tangente aplicada ao argumento \frac{1-\cos(x)}{x}. O ponto de interesse é x\to 0.
Objetivo explícito: encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Vamos estudar o comportamento do argumento
u(x)=\frac{1-\cos(x)}{x}
quando x\to 0. Se mostrarmos que u(x)\to 0, então a tangente será avaliada em um valor pequeno e poderemos usar a aproximação limite de pequena amplitude.
Para achar o comportamento de u(x) é útil conhecer o limite clássico
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^{2}}=\frac{1}{2}.
Vou demonstrar esse limite rapidamente usando a regra de l’Hôpital (porque tanto numerador quanto denominador tendem a 0 quando x\to 0). Aplicando l’Hôpital uma vez:
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^{2}} =\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{2x}.
Agora usamos o limite clássico
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1,
que é um resultado padrão (pode ser justificado por desigualdades trigonométricas ou pela série de Taylor). Assim
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{2x}=\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=\frac{1}{2}.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^{2}}=\frac{1}{2}.

Passo 3

A partir do resultado do passo anterior podemos reescrever u(x) como
u(x)=\frac{1-\cos(x)}{x} = x\cdot\frac{1-\cos(x)}{x^{2}}.
Como \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^{2}}=\frac{1}{2}, temos que, para x próximo de 0,
\frac{1-\cos(x)}{x^{2}}=\frac{1}{2}+o(1),
onde o(1) denota uma quantidade que tende a 0 quando x\to 0. Multiplicando por x,
u(x)=x\left(\frac{1}{2}+o(1)\right)=\frac{x}{2}+o(x).
Logo fica claro que
\lim_{x\to 0}u(x)=\lim_{x\to 0}\frac{x}{2}=0.
Então o argumento da tangente tende a 0 quando x\to 0.

Passo 4

Agora usamos um limite padrão para a tangente: para qualquer variável y com y\to 0,
\lim_{y\to 0}\frac{\operatorname{tg}(y)}{y}=1.
Justificativa rápida: \operatorname{tg}(y)=\dfrac{\sin(y)}{\cos(y)}, então
\frac{\operatorname{tg}(y)}{y}=\frac{\sin(y)}{y}\cdot\frac{1}{\cos(y)}.
Quando y\to 0 temos \dfrac{\sin(y)}{y}\to 1 e \cos(y)\to 1, logo \dfrac{\operatorname{tg}(y)}{y}\to 1.

Passo 5

Combine os resultados: com u(x)\to 0 e sabendo que \dfrac{\operatorname{tg}(y)}{y}\to 1 quando y\to 0, escrevemos
\operatorname{tg}\!\big(u(x)\big)=u(x)\cdot\frac{\operatorname{tg}\!\big(u(x)\big)}{u(x)}.
Tomando limite quando x\to 0,
\lim_{x\to 0}\operatorname{tg}\!\big(u(x)\big) =\left(\lim_{x\to 0}u(x)\right)\cdot\left(\lim_{y\to 0}\frac{\operatorname{tg}(y)}{y}\right) =0\cdot 1=0.

Resposta

0

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