Analise os seguintes limites:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas: a função trigonométrica tangente aplicada ao argumento
. O ponto de interesse é
.
Objetivo explícito: encontrar o valor numérico desse limite.
Objetivo explícito: encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Vamos estudar o comportamento do argumento
quando
. Se mostrarmos que
, então a tangente será avaliada em um valor pequeno e poderemos usar a aproximação limite de pequena amplitude.
Para achar o comportamento de é útil conhecer o limite clássico
Para achar o comportamento de
Vou demonstrar esse limite rapidamente usando a regra de l’Hôpital (porque tanto numerador quanto denominador tendem a
quando
). Aplicando l’Hôpital uma vez:
Agora usamos o limite clássico
que é um resultado padrão (pode ser justificado por desigualdades trigonométricas ou pela série de Taylor). Assim
Portanto
Passo 3
A partir do resultado do passo anterior podemos reescrever
como
Como
, temos que, para
próximo de
,
onde
denota uma quantidade que tende a
quando
. Multiplicando por
,
Logo fica claro que
Então o argumento da tangente tende a
quando
.
Passo 4
Agora usamos um limite padrão para a tangente: para qualquer variável
com
,
Justificativa rápida:
, então
Quando
temos
e
, logo
.
Passo 5
Combine os resultados: com
e sabendo que
quando
, escrevemos
Tomando limite quando
,