Calcule as derivadas \frac{d y}{d x} das funções abaixo.
y=\operatorname{arctg}\left(\cos \left(\frac{1}{1+x}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada \dfrac{d y}{d x} da função
y=\operatorname{arctg}\!\left(\cos\!\left(\frac{1}{1+x}\right)\right).
Informações dadas que vamos usar: a função é composta — temos uma função externa \operatorname{arctg}(\cdot), dentro dela \cos(\cdot), e dentro do cosseno a função \dfrac{1}{1+x}. A derivada pedida é uma derivada de função composta, então precisaremos aplicar a regra da cadeia várias vezes.

Passo 2

Para organizar, vamos nomear as camadas (isso facilita aplicar a regra da cadeia):
u(x)=\cos\!\left(\frac{1}{1+x}\right) \qquad\text{e}\qquad y(x)=\operatorname{arctg}\big(u(x)\big).
Aqui u(x) é a função “intermediária” (o resultado do cosseno) e y é a função externa \operatorname{arctg} aplicada a u. A regra da cadeia diz que
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.
Vou calcular \dfrac{dy}{du} e \dfrac{du}{dx} separadamente e depois multiplicar.

Passo 3

Derivada da função externa \operatorname{arctg}(u) em relação a u.
Fórmula conhecida (e que podemos justificar rapidamente): se y=\operatorname{arctg}(u), então \tan(y)=u. Derivando ambos os lados em relação a x (derivação implícita):
\operatorname{sec}^2(y)\,\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}.
Como \operatorname{sec}^2(y)=1+\tan^2(y) e \tan(y)=u, temos \operatorname{sec}^2(y)=1+u^2. Assim
\frac{dy}{dx}=\frac{du/dx}{1+u^2}.
Isolando \dfrac{dy}{du} (tratando u como variável independente), obtemos a fórmula padrão:
\frac{d}{du}\operatorname{arctg}(u)=\frac{1}{1+u^2}.
Portanto
\frac{dy}{du}=\frac{1}{1+u^2}.

Passo 4

Agora precisamos de \dfrac{du}{dx} com u(x)=\cos\!\left(\dfrac{1}{1+x}\right). Novamente é composição: escreva
v(x)=\frac{1}{1+x} \qquad\text{e}\qquad u(x)=\cos\big(v(x)\big).
Aplicando a regra da cadeia para u:
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dv}\big(\cos(v)\big)\cdot\frac{dv}{dx}.

Passo 5

Derivada de \cos(v) em relação a v e derivada de v(x)=\dfrac{1}{1+x}.
A derivada conhecida é
\frac{d}{dv}\cos(v)=-\sin(v).
Para v(x)=\dfrac{1}{1+x} podemos reescrever como v(x)=(1+x)^{-1}. Aplicando a regra do poder (power rule) e a derivada de 1+x que é 1, temos
\frac{dv}{dx}=-1\cdot(1+x)^{-2}=\,-\frac{1}{(1+x)^2}.
Portanto, juntando:
\frac{du}{dx}=\big(-\sin(v)\big)\cdot\big(-\frac{1}{(1+x)^2}\big).

Passo 6

Simplifique o produto de sinais em \dfrac{du}{dx}.
Temos dois sinais negativos multiplicando, então eles se cancelam:
\frac{du}{dx}=\sin(v)\cdot\frac{1}{(1+x)^2}.
Lembre que v(x)=\dfrac{1}{1+x}. Substituindo de volta:
\frac{du}{dx}=\frac{\sin\!\left(\frac{1}{1+x}\right)}{(1+x)^2}.

Passo 7

Agora volte para a fórmula da regra da cadeia do Passo 2:
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.
Substitua \dfrac{dy}{du}=\dfrac{1}{1+u^2} (Passo 3) e \dfrac{du}{dx}=\dfrac{\sin\!\left(\frac{1}{1+x}\right)}{(1+x)^2} (Passo 6). Lembre que u=\cos\!\left(\dfrac{1}{1+x}\right). Assim:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+\left(\cos\!\left(\frac{1}{1+x}\right)\right)^2}\cdot\frac{\sin\!\left(\frac{1}{1+x}\right)}{(1+x)^2}.

Passo 8

Organize a expressão final de forma limpa. Multiplicando os fatores obtemos:
\frac{dy}{dx}=\frac{\sin\!\left(\dfrac{1}{1+x}\right)}{\big(1+\cos^2\!\left(\dfrac{1}{1+x}\right)\big)\,(1+x)^2}.
Essa é a forma simplificada e adequada para entregar em prova. Se quiser, pode deixar em outras formas equivalentes, mas essa já mostra claramente cada camada da cadeia.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{\sin\!\left(\dfrac{1}{1+x}\right)}{\big(1+\cos^2\!\left(\dfrac{1}{1+x}\right)\big)\,(1+x)^2}

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