Calcule as derivadas
das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
da função
Informações dadas que vamos usar: a função é composta — temos uma função externa
, dentro dela
, e dentro do cosseno a função
. A derivada pedida é uma derivada de função composta, então precisaremos aplicar a regra da cadeia várias vezes.
Passo 2
Para organizar, vamos nomear as camadas (isso facilita aplicar a regra da cadeia):
Aqui
é a função “intermediária” (o resultado do cosseno) e
é a função externa
aplicada a
. A regra da cadeia diz que
Vou calcular
e
separadamente e depois multiplicar.
Passo 3
Derivada da função externa
em relação a
.
Fórmula conhecida (e que podemos justificar rapidamente): se
, então
. Derivando ambos os lados em relação a
(derivação implícita):
Como
e
, temos
. Assim
Isolando
(tratando
como variável independente), obtemos a fórmula padrão:
Portanto
Passo 4
Agora precisamos de
com
. Novamente é composição: escreva
Aplicando a regra da cadeia para
:
Passo 5
Derivada de
em relação a
e derivada de
.
A derivada conhecida é
Para
podemos reescrever como
. Aplicando a regra do poder (power rule) e a derivada de
que é
, temos
Portanto, juntando:
Passo 6
Simplifique o produto de sinais em
.
Temos dois sinais negativos multiplicando, então eles se cancelam:
Lembre que
. Substituindo de volta:
Passo 7
Agora volte para a fórmula da regra da cadeia do Passo 2:
Substitua
(Passo 3) e
(Passo 6). Lembre que
. Assim:
Passo 8
Organize a expressão final de forma limpa. Multiplicando os fatores obtemos:
Essa é a forma simplificada e adequada para entregar em prova. Se quiser, pode deixar em outras formas equivalentes, mas essa já mostra claramente cada camada da cadeia.