Analise os seguintes limites:
Passo 1
O que o problema pede: calcular
Informações dadas que importam: o numerador é o polinómio
e o denominador é a expressão linear
. Se tentarmos substituir diretamente
obtemos
e
Logo a substituição direta dá a forma indeterminada
.
Passo 2
O que significa
e o que fazer: a forma
é indeterminada — isso quer dizer que não podemos concluir o valor do limite só pela substituição. Uma estratégia comum e eficiente é simplificar a expressão algébrica (por exemplo, fatorando) para eliminar a causa da indeterminação. Uma identidade útil aqui é a diferença de quadrados:
Vou usar essa identidade para manipular o numerador.
Passo 3
Fatorando o numerador usando diferença de quadrados: note que
, então
O denominador
pode ser escrito como
. Portanto a expressão original pode ser reescrita como
Passo 4
Cancelamento e justificativa para limite: para todo
diferente de
temos
, então podemos cancelar o fator comum
. Assim, para
próximo de
(mas
) vale
Como limites dependem apenas do comportamento da função em pontos próximos (e não exatamente no ponto onde pode haver indefinição), podemos substituir a expressão original pelo seu equivalente simplificado
para calcular o limite. Além disso, polinómios (como
) são funções contínuas, então o limite é obtido por substituição direta.
Passo 5
Avaliação final por substituição: calcular
em
: