Analise os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-\frac{1}{2}} \frac{4 x^{2}-1}{1+2 x}

Passo 1

O que o problema pede: calcular
\lim_{x\to -\tfrac{1}{2}} \frac{4x^{2}-1}{1+2x}.
Informações dadas que importam: o numerador é o polinómio 4x^{2}-1 e o denominador é a expressão linear 1+2x. Se tentarmos substituir diretamente x=-\tfrac{1}{2} obtemos
4\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}-1 = 4\cdot\tfrac{1}{4}-1 = 1-1 = 0
e
1+2\left(-\tfrac{1}{2}\right)=1-1=0.
Logo a substituição direta dá a forma indeterminada 0/0.

Passo 2

O que significa 0/0 e o que fazer: a forma 0/0 é indeterminada — isso quer dizer que não podemos concluir o valor do limite só pela substituição. Uma estratégia comum e eficiente é simplificar a expressão algébrica (por exemplo, fatorando) para eliminar a causa da indeterminação. Uma identidade útil aqui é a diferença de quadrados:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Vou usar essa identidade para manipular o numerador.

Passo 3

Fatorando o numerador usando diferença de quadrados: note que 4x^{2}-1=(2x)^{2}-1^{2}, então
4x^{2}-1=(2x-1)(2x+1).
O denominador 1+2x pode ser escrito como 2x+1. Portanto a expressão original pode ser reescrita como
\frac{4x^{2}-1}{1+2x}=\frac{(2x-1)(2x+1)}{2x+1}.

Passo 4

Cancelamento e justificativa para limite: para todo x diferente de -\tfrac{1}{2} temos 2x+1\neq 0, então podemos cancelar o fator comum 2x+1. Assim, para x próximo de -\tfrac{1}{2} (mas x\neq -\tfrac{1}{2}) vale
\frac{(2x-1)(2x+1)}{2x+1}=2x-1.
Como limites dependem apenas do comportamento da função em pontos próximos (e não exatamente no ponto onde pode haver indefinição), podemos substituir a expressão original pelo seu equivalente simplificado 2x-1 para calcular o limite. Além disso, polinómios (como 2x-1) são funções contínuas, então o limite é obtido por substituição direta.

Passo 5

Avaliação final por substituição: calcular 2x-1 em x=-\tfrac{1}{2}:
2\left(-\tfrac{1}{2}\right)-1 = -1-1 = -2.

Resposta

-2

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