Aņalise os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 3}(5 x-7) (por definição)

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule, usando a definição formal de limite, o valor de
\lim_{x\to 3} (5x-7).
Informações dadas:
f(x)=5x-7\quad\text{e o ponto de interesse é}\quad x\to 3.é
O que precisa ser mostrado: encontrar L e provar (pela definição \varepsilon- \delta) que
\lim_{x\to 3} f(x)=L.

Passo 2

Relembrando a definição \varepsilon- \delta de limite (vou explicar devagar como se estivéssemos na prova): dizemos que
\lim_{x\to 3} f(x)=L
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-3|<\delta, então |f(x)-L|<\varepsilon.
Significado dos símbolos:
  • \varepsilon>0 é qualquer tolerância pequena que o examinador escolher (quão perto queremos que f(x) fique de L).
  • \delta>0 é a tolerância na variável x (o quanto perto de 3 precisamos pegar x para garantir a tolerância em f(x)).
  • A prova consiste em, dado um \varepsilon, apresentar uma regra para escolher \delta e mostrar que essa escolha garante |f(x)-L|<\varepsilon.

Passo 3

Primeiro, fazemos uma tentativa natural de adivinhar L. Para funções polinomiais (e lineares como esta), o valor do limite em x=3 costuma ser o próprio valor da função em x=3. Calculando:
f(3)=5\cdot 3 - 7 = 15-7 = 8.
Então a nossa candidata para o limite é L=8.

Passo 4

Agora fazemos as contas algébricas que vão permitir escolher \delta. Tomamos a expressão da diferença entre f(x) e L:
|f(x)-L| = |(5x-7)-8|.
Calculo passo a passo:
(5x-7)-8 = 5x-15,
portanto
|f(x)-L| = |5x-15| = 5\,|x-3|.
Isso é uma simplificação importante: a diferença entre f(x) e L é exatamente 5 vezes |x-3|.

Passo 5

Usando a igualdade |f(x)-L| = 5\,|x-3|, queremos forçar |f(x)-L|<\varepsilon. Basta garantir
5\,|x-3|<\varepsilon.
Dividindo por 5 (que é positivo), obtemos
|x-3|<\frac{\varepsilon}{5}.
Portanto uma escolha natural e eficaz é
\delta=\frac{\varepsilon}{5}.
Agora verificamos a lógica: dado qualquer \varepsilon>0, definimos \delta=\varepsilon/5. Se 0<|x-3|<\delta, então
|f(x)-L| = 5\,|x-3| < 5\cdot \delta = 5\cdot\frac{\varepsilon}{5} = \varepsilon.
Logo a condição da definição é satisfeita.

Passo 6

Concluímos, pela prova \varepsilon- \delta construída (para todo \varepsilon>0 escolhemos \delta=\varepsilon/5 e mostramos a implicação desejada), que
\lim_{x\to 3} (5x-7)=8.

Resposta

8

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