Aņalise os seguintes limites:
(por definição)
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule, usando a definição formal de limite, o valor de
Informações dadas:
O que precisa ser mostrado: encontrar
e provar (pela definição
-
) que
Passo 2
Relembrando a definição
-
de limite (vou explicar devagar como se estivéssemos na prova): dizemos que
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
, então
.
Significado dos símbolos:
-
é qualquer tolerância pequena que o examinador escolher (quão perto queremos que fique de ). -
é a tolerância na variável (o quanto perto de precisamos pegar para garantir a tolerância em ). - A prova consiste em, dado um
, apresentar uma regra para escolher e mostrar que essa escolha garante .
Passo 3
Primeiro, fazemos uma tentativa natural de adivinhar
. Para funções polinomiais (e lineares como esta), o valor do limite em
costuma ser o próprio valor da função em
. Calculando:
Então a nossa candidata para o limite é
.
Passo 4
Agora fazemos as contas algébricas que vão permitir escolher
. Tomamos a expressão da diferença entre
e
:
Calculo passo a passo:
portanto
Isso é uma simplificação importante: a diferença entre
e
é exatamente
vezes
.
Passo 5
Usando a igualdade
, queremos forçar
. Basta garantir
Dividindo por
(que é positivo), obtemos
Portanto uma escolha natural e eficaz é
Agora verificamos a lógica: dado qualquer
, definimos
. Se
, então
Logo a condição da definição é satisfeita.
Passo 6
Concluímos, pela prova
-
construída (para todo
escolhemos
e mostramos a implicação desejada), que