Aņalise os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas e observações imediatas:
Se eu substituir
diretamente, tanto o numerador quanto o denominador ficam iguais a
, então temos uma forma indeterminada do tipo
. A partir daqui vamos transformar a expressão para achar o comportamento quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar polinômios para simplificar. Vou explicar a ideia de fatoração que uso.
- Quando um polinômio tem todos os termos com um fator comum, podemos “fatorar” esse fator comum. Por exemplo,
. - Também é útil reconhecer quadrados perfeitos:
.
Essas duas observações vão ajudar a simplificar a fração sem usar derivadas.
Passo 3
Vamos fatorar numerador e denominador passo a passo.
Numerador:
Denominador: primeiro fator comum é
, porque todos os termos têm pelo menos
.
Agora reconhecemos que
é um quadrado perfeito:
Portanto
Passo 4
Substituindo as fatorações na fração original:
Agora podemos cancelar fatores comuns quando
e
(lembrando que para limites consideramos valores próximos de
, não necessariamente
exatamente). Cancelando
e um fator
obtemos:
Passo 5
Agora analisamos o limite da forma simplificada:
Observações para entender o comportamento:
-
é sempre não negativo e, para , é positivo. Quando , (tende a zero por valores positivos). -
quando tende a , e em uma vizinhança de (por exemplo para ) é positivo.
Logo, parapróximo de (tanto vindo da direita quanto da esquerda), o produto é um número positivo muito pequeno, aproximando-se de .
Assimé um número positivo com módulo muito grande, tendendo para .
Também podemos verificar as duas limites laterais:
porque o sinal do denominador é positivo em ambos os lados de
.