Aņalise os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+x}{x^{5}+2 x^{4}+x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 0} \frac{x^{2}+x}{x^{5}+2x^{4}+x^{3}}.
Informações dadas e observações imediatas:
\text{Numerador} = x^{2}+x,
\text{Denominador} = x^{5}+2x^{4}+x^{3}.
Se eu substituir x=0 diretamente, tanto o numerador quanto o denominador ficam iguais a 0, então temos uma forma indeterminada do tipo 0/0. A partir daqui vamos transformar a expressão para achar o comportamento quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar polinômios para simplificar. Vou explicar a ideia de fatoração que uso.
  • Quando um polinômio tem todos os termos com um fator comum, podemos “fatorar” esse fator comum. Por exemplo, ax+ay=a(x+y).
  • Também é útil reconhecer quadrados perfeitos: x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}.
    Essas duas observações vão ajudar a simplificar a fração sem usar derivadas.

Passo 3

Vamos fatorar numerador e denominador passo a passo.
Numerador:
x^{2}+x = x(x+1).
Denominador: primeiro fator comum é x^{3}, porque todos os termos têm pelo menos x^{3}.
x^{5}+2x^{4}+x^{3} = x^{3}\bigl(x^{2}+2x+1\bigr).
Agora reconhecemos que x^{2}+2x+1 é um quadrado perfeito:
x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}.
Portanto
x^{5}+2x^{4}+x^{3} = x^{3}(x+1)^{2}.

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração original:
\frac{x^{2}+x}{x^{5}+2x^{4}+x^{3}} = \frac{x(x+1)}{x^{3}(x+1)^{2}}.
Agora podemos cancelar fatores comuns quando x\neq 0 e x\neq -1 (lembrando que para limites consideramos valores próximos de 0, não necessariamente 0 exatamente). Cancelando x e um fator (x+1) obtemos:
\frac{x(x+1)}{x^{3}(x+1)^{2}} = \frac{1}{x^{2}(x+1)},\quad \text{para }x\neq 0,\\ x\neq -1.

Passo 5

Agora analisamos o limite da forma simplificada:
\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{2}(x+1)}.
Observações para entender o comportamento:
  • x^{2} é sempre não negativo e, para x\neq 0, é positivo. Quando x\to 0, x^{2}\to 0^{+} (tende a zero por valores positivos).
  • x+1 quando x\to 0 tende a 1, e em uma vizinhança de 0 (por exemplo para -\tfrac12<x<\tfrac12) é positivo.
    Logo, para x próximo de 0 (tanto vindo da direita quanto da esquerda), o produto x^{2}(x+1) é um número positivo muito pequeno, aproximando-se de 0^{+}.
    Assim \dfrac{1}{x^{2}(x+1)} é um número positivo com módulo muito grande, tendendo para +\infty.
Também podemos verificar as duas limites laterais:
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x^{2}(x+1)}=+\infty,\qquad \lim_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x^{2}(x+1)}=+\infty,
porque o sinal do denominador é positivo em ambos os lados de 0.

Resposta

+\infty

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