Analise as sentenças a seguir, identificando se são verdadeira ou falsa (e) justificando adequadamente de acordo com o fundamentos de equações diferenciais.
Considere a equação diferencial:
Trata-se de uma equação diferencial exata cuja solução é uma curva do tipo
Considere a equação diferencial:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e afirma duas coisas: (i) que essa equação é exata; (ii) que a solução é uma curva do tipo
. O que precisamos decidir é se cada uma dessas afirmações é verdadeira ou falsa e justificar por fundamentos de equações diferenciais.
Passo 2
O que significa “equação exata” (explicação didática passo a passo).
Uma equação diferencial no formato
Uma equação diferencial no formato
é dita exata em uma região se existe uma função potencial
tal que
Uma condição prática e necessária (e suficiente em regiões simples) para exatidão é
Aqui
indica derivada parcial — quando eu escrevo
significa: manter
fixo e derivar
em relação a
.
Passo 3
Identificação de
e
a partir da equação dada.
Comparando com , temos
Comparando com
Vou usar isso para verificar a condição de exatidão.
Passo 4
Cálculo das derivadas parciais usando regra da cadeia (explicando cada termo).
Primeiro calcule .
Escrevemos com
. Pela regra da cadeia,
Primeiro calcule
Escrevemos
Como
, temos
Agora calcule
.
Temos com
. Pela regra da cadeia,
Temos
Como
, resulta
Passo 5
Comparação das derivadas e conclusão sobre exatidão.
Encontramos
Encontramos
Essas duas expressões só são iguais em pontos onde
. Em geral, elas não são iguais; portanto a condição de exatidão
NÃO é satisfeita em uma região aberta genérica. Conclusão: a equação NÃO é exata (a menos de pontos isolados ou curvas onde
, mas isso não dá exatidão na região inteira).
Passo 6
Verificação da curva proposta
.
Se a proposta fosse correta como curva nível de uma potencial , então
deveria satisfazer
e
. Calculemos as derivadas de
:
Se a proposta fosse correta como curva nível de uma potencial
Derivando
em
:
Derivando
em
:
Portanto
. Comparando com
, vemos que a componente em
difere por um fator
. Logo
NÃO é a família correta de curvas solução da equação dada.
Passo 7
Resolver a equação diretamente de forma elementar (método prático para a prova).
Observe que a equação dada tem o fator comum . Em regiões onde
podemos dividir ambos os lados por
obtendo a equação simples
Observe que a equação dada tem o fator comum
Isso é equivalente a
. Integrando,
onde
é constante de integração. Esse é o conjunto de soluções gerais (nas regiões onde a divisão foi válida).
Há também as curvas singulares onde
(isto é,
,
). Nesses pontos a expressão original é identicamente zero (forma
), então tais curvas são um conjunto onde a equação é satisfeita de forma degenerada; porém a família geral obtida por
é a solução ordinária em regiões onde
.
Passo 8
Resumo lógico para responder à afirmação do enunciado.
- A equação NÃO é exata em geral (a condição de exatidão falha:
). - A curva
NÃO é a família de soluções da equação; a família correta (onde ) é . Portanto a sentença do enunciado é falsa.
Resposta
Falsa