Analise as sentenças a seguir, identificando se são verdadeira ou falsa (e) justificando adequadamente de acordo com o fundamentos de equações diferenciais.
Considere a equação diferencial:
\text { 2. } \cos (2 x-y) d x-\cos (2 x-y) d y=0
Trata-se de uma equação diferencial exata cuja solução é uma curva do tipo g(x, y)=\operatorname{sen}(2 x-y)+c

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\cos(2x-y)\,dx-\cos(2x-y)\,dy=0
e afirma duas coisas: (i) que essa equação é exata; (ii) que a solução é uma curva do tipo g(x,y)=\operatorname{sen}(2x-y)+C. O que precisamos decidir é se cada uma dessas afirmações é verdadeira ou falsa e justificar por fundamentos de equações diferenciais.

Passo 2

O que significa “equação exata” (explicação didática passo a passo).
Uma equação diferencial no formato
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
é dita exata em uma região se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
Uma condição prática e necessária (e suficiente em regiões simples) para exatidão é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Aqui \partial indica derivada parcial — quando eu escrevo \partial M/\partial y significa: manter x fixo e derivar M em relação a y.

Passo 3

Identificação de M e N a partir da equação dada.
Comparando com M\,dx+N\,dy=0, temos
M(x,y)=\cos(2x-y), \qquad N(x,y)=-\cos(2x-y).
Vou usar isso para verificar a condição de exatidão.

Passo 4

Cálculo das derivadas parciais usando regra da cadeia (explicando cada termo).
Primeiro calcule \partial M/\partial y.
Escrevemos M(x,y)=\cos(u) com u=2x-y. Pela regra da cadeia,
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{d}{dy}\cos(u) =-\sin(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Como \partial u/\partial y=\partial(2x-y)/\partial y=-1, temos
\frac{\partial M}{\partial y}=-\sin(2x-y)\cdot(-1)=\sin(2x-y).
Agora calcule \partial N/\partial x.
Temos N(x,y)=-\cos(u) com u=2x-y. Pela regra da cadeia,
\frac{\partial N}{\partial x} =-\frac{d}{dx}\cos(u) =-\bigl(-\sin(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}\bigr).
Como \partial u/\partial x=\partial(2x-y)/\partial x=2, resulta
\frac{\partial N}{\partial x}= -\bigl(-\sin(2x-y)\cdot 2\bigr)=2\sin(2x-y).

Passo 5

Comparação das derivadas e conclusão sobre exatidão.
Encontramos
\frac{\partial M}{\partial y}=\sin(2x-y), \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2\sin(2x-y).
Essas duas expressões só são iguais em pontos onde \sin(2x-y)=0. Em geral, elas não são iguais; portanto a condição de exatidão \partial M/\partial y=\partial N/\partial x NÃO é satisfeita em uma região aberta genérica. Conclusão: a equação NÃO é exata (a menos de pontos isolados ou curvas onde \sin(2x-y)=0, mas isso não dá exatidão na região inteira).

Passo 6

Verificação da curva proposta g(x,y)=\operatorname{sen}(2x-y)+C.
Se a proposta fosse correta como curva nível de uma potencial \Phi, então \Phi(x,y)=\operatorname{sen}(2x-y) deveria satisfazer \Phi_x=M e \Phi_y=N. Calculemos as derivadas de \Phi:
Derivando \Phi=\operatorname{sen}(2x-y) em x:
\frac{\partial \Phi}{\partial x} =\cos(2x-y)\cdot\frac{\partial (2x-y)}{\partial x} =\cos(2x-y)\cdot 2 =2\cos(2x-y).
Derivando \Phi em y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} =\cos(2x-y)\cdot\frac{\partial (2x-y)}{\partial y} =\cos(2x-y)\cdot(-1) =-\cos(2x-y).
Portanto \nabla \Phi=(2\cos(2x-y),\,-\cos(2x-y)). Comparando com (M,N)=(\cos(2x-y),\,-\cos(2x-y)), vemos que a componente em x difere por um fator 2. Logo \operatorname{sen}(2x-y)+C NÃO é a família correta de curvas solução da equação dada.

Passo 7

Resolver a equação diretamente de forma elementar (método prático para a prova).
Observe que a equação dada tem o fator comum \cos(2x-y). Em regiões onde \cos(2x-y)\neq 0 podemos dividir ambos os lados por \cos(2x-y) obtendo a equação simples
dx-dy=0.
Isso é equivalente a \dfrac{dy}{dx}=1. Integrando,
y=x+C,
onde C é constante de integração. Esse é o conjunto de soluções gerais (nas regiões onde a divisão foi válida).
Há também as curvas singulares onde \cos(2x-y)=0 (isto é, 2x-y=(2k+1)\dfrac{\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}). Nesses pontos a expressão original é identicamente zero (forma 0\cdot dx-0\cdot dy=0), então tais curvas são um conjunto onde a equação é satisfeita de forma degenerada; porém a família geral obtida por y=x+C é a solução ordinária em regiões onde \cos(2x-y)\neq0.

Passo 8

Resumo lógico para responder à afirmação do enunciado.
  • A equação NÃO é exata em geral (a condição de exatidão falha: \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x).
  • A curva \operatorname{sen}(2x-y)+C NÃO é a família de soluções da equação; a família correta (onde \cos(2x-y)\neq0) é y=x+C. Portanto a sentença do enunciado é falsa.

Resposta

Falsa

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