Analise as sentenças a seguir, identificando se são verdadeira ou falsa (e) justificando adequadamente de acordo com o fundamentos de equações diferenciais.
Considere a equação diferencial
, é verdade que a EDO tem solução geral dada por
, para algum
(constante).
Considere a equação diferencial
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e afirma que a EDO teria solução geral dada por
para algum
constante.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A EDO é de primeira ordem e linear (coeficiente de
depende de ). - A afirmação propõe uma forma de solução geral envolvendo um termo exponencial
e um termo polinomial .
A tarefa é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar adequadamente.
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão da equação linear de primeira ordem:
Aqui temos
Explicando o método do fator integrante (integração por fator integrante): para uma equação
define-se o fator integrante
porque multiplicando a EDO por
obtemos
ou seja, o lado esquerdo vira a derivada do produto
, tornando possível integrar diretamente ambos os lados.
Passo 3
Calculamos o fator integrante para
:
Multiplicando a EDO por
obtemos
Pelo motivo explicado, o lado esquerdo é a derivada:
Passo 4
Simplificamos o integrando no lado direito:
Observamos que
portanto
Integrando ambos os lados da igualdade
obtemos
onde
é constante arbitrária. Multiplicando por
resulta
Passo 5
Interpretação da solução geral encontrada: a solução geral da EDO é
ou seja, a solução particular é
e a solução homogênea é
. Note que a parte homogênea tem a forma de
(expoente cúbico em
), não de
(expoente linear em
). Além disso, a parte particular é
, não
.
Passo 6
Mostramos também algebricamente que a forma proposta
não pode ser solução geral: suponha
com
constante. Então
Calculando o lado esquerdo da EDO:
O lado direito exigido é
. Para que as duas expressões sejam iguais para todo
, teríamos que casar o termo exponencial
com
(o que forçaria
) e ainda satisfazer
para todo
, o que é impossível. Portanto
não é (nem pode ser) a solução geral da EDO.
Resposta
Falsa.