Analise as sentenças a seguir, identificando se são verdadeira ou falsa (e) justificando adequadamente de acordo com o fundamentos de equações diferenciais.
Considere a equação diferencial \frac{d y}{d x}-3 x^{2} y=\left(3 x^{2}-1\right) e^{x}, é verdade que a EDO tem solução geral dada por y=-e^{r x}+x, para algum r (constante).

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\frac{dy}{dx}-3x^{2}y=(3x^{2}-1)e^{x}
e afirma que a EDO teria solução geral dada por y=-e^{r x}+x para algum r constante.
Informações relevantes:
  • A EDO é de primeira ordem e linear (coeficiente de y depende de x).
  • A afirmação propõe uma forma de solução geral envolvendo um termo exponencial e^{r x} e um termo polinomial x.
    A tarefa é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar adequadamente.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão da equação linear de primeira ordem:
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x).
Aqui temos
P(x)=-3x^{2},\qquad Q(x)=(3x^{2}-1)e^{x}.
Explicando o método do fator integrante (integração por fator integrante): para uma equação \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) define-se o fator integrante
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx},
porque multiplicando a EDO por \mu(x) obtemos
\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)P(x)y=\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big),
ou seja, o lado esquerdo vira a derivada do produto \mu y, tornando possível integrar diretamente ambos os lados.

Passo 3

Calculamos o fator integrante para P(x)=-3x^{2}:
\mu(x)=e^{\int -3x^{2}\,dx}=e^{-x^{3}}.
Multiplicando a EDO por \mu(x) obtemos
e^{-x^{3}}\frac{dy}{dx}-3x^{2}e^{-x^{3}}y=e^{-x^{3}}(3x^{2}-1)e^{x}.
Pelo motivo explicado, o lado esquerdo é a derivada:
\frac{d}{dx}\big(e^{-x^{3}}y\big)=e^{-x^{3}}(3x^{2}-1)e^{x}.

Passo 4

Simplificamos o integrando no lado direito:
e^{-x^{3}}(3x^{2}-1)e^{x}=e^{x-x^{3}}(3x^{2}-1).
Observamos que
\frac{d}{dx}\big(e^{x-x^{3}}\big)=e^{x-x^{3}}(1-3x^{2}),
portanto
e^{x-x^{3}}(3x^{2}-1)=-\frac{d}{dx}\big(e^{x-x^{3}}\big).
Integrando ambos os lados da igualdade \frac{d}{dx}\big(e^{-x^{3}}y\big)=-\frac{d}{dx}\big(e^{x-x^{3}}\big) obtemos
e^{-x^{3}}y=-e^{x-x^{3}}+C,
onde C é constante arbitrária. Multiplicando por e^{x^{3}} resulta
y=-e^{x}+C e^{x^{3}}.

Passo 5

Interpretação da solução geral encontrada: a solução geral da EDO é
y=-e^{x}+C e^{x^{3}},
ou seja, a solução particular é y_{p}=-e^{x} e a solução homogênea é y_{h}=C e^{x^{3}}. Note que a parte homogênea tem a forma de e^{x^{3}} (expoente cúbico em x), não de e^{r x} (expoente linear em x). Além disso, a parte particular é -e^{x}, não x.

Passo 6

Mostramos também algebricamente que a forma proposta y=-e^{r x}+x não pode ser solução geral: suponha y=-e^{r x}+x com r constante. Então
\frac{dy}{dx}=-r e^{r x}+1.
Calculando o lado esquerdo da EDO:
\frac{dy}{dx}-3x^{2}y=\big(-r e^{r x}+1\big)-3x^{2}\big(-e^{r x}+x\big)=e^{r x}(-r+3x^{2})+1-3x^{3}.
O lado direito exigido é (3x^{2}-1)e^{x}. Para que as duas expressões sejam iguais para todo x, teríamos que casar o termo exponencial e^{r x} com e^{x} (o que forçaria r=1) e ainda satisfazer 1-3x^{3}=0 para todo x, o que é impossível. Portanto y=-e^{r x}+x não é (nem pode ser) a solução geral da EDO.

Resposta

Falsa.

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