Analise as sentenças a seguir, identificando se são verdadeira ou falsa (e) justificando adequadamente de acordo com o fundamentos de equações diferenciais.
A equação diferencial dada por:
Não é exata e tem fator integrante Não é exata e tem fator integrante (m(x)=\frac{1}{x^{2}}).
A equação diferencial dada por:
Passo 1
O enunciado pede que eu analise duas sentenças sobre a equação diferencial
e diga para cada uma se é verdadeira ou falsa, justificando. As duas sentenças são, em essência:
- “Não é exata e tem fator integrante.”
- “Não é exata e tem fator integrante
.”
As informações dadas explicitamente: a equação diferencial escrita no formato
com
Passo 2
Definição e teste de exatidão (aulas rápidas):
Uma equação diferencial é exata se existe uma função potencial
tal que
Uma equação diferencial
Um teste prático é comparar as derivadas parciais:
Se forem iguais em uma região, a equação é exata. Vou calcular essas derivadas para nossa
e
.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais:
Como
, a equação NÃO é exata. Logo, a primeira parte das sentenças (“Não é exata”) está correta.
Passo 4
Conceito de fator integrante dependente só de
:
Se a expressão
Se a expressão
depende apenas de
(ou seja, não depende de
), então existe um fator integrante
dado por
Aqui vou calcular essa expressão para ver se depende só de
.
Passo 5
Calcular a razão:
Já computamos . Então
Já computamos
que depende somente de
(válido para
). Portanto existe um fator integrante que depende somente de
. Isso confirma a afirmação genérica de que “tem fator integrante”.
Passo 6
Encontrar explicitamente
:
Usando a fórmula,
Usando a fórmula,
Podemos escolher
(considerando
). Assim
Passo 7
Verificação: multiplicar a equação por
e checar exatidão.
Multiplicando, obtemos a nova equação
Multiplicando, obtemos a nova equação
ou seja
Agora calcule as derivadas parciais:
Como são iguais, a equação multiplicada por
é exata. Portanto
é de fato um fator integrante válido.
Passo 8
(Só para confirmar: solução implícita rápida como checagem)
Se quisermos achar a função potencial tal que
e
, integramos:
Se quisermos achar a função potencial
Derivando em relação a
e igualando a
:
Logo a solução implícita é
o que confirma que a equação se tornou exata com o fator integrante encontrado.
Resposta
Não é exata e tem fator integrante: Verdadeira.
Não é exata e tem fator integrante : Verdadeira.
Não é exata e tem fator integrante