Analise as sentenças a seguir, identificando se são verdadeira ou falsa (e) justificando adequadamente de acordo com o fundamentos de equações diferenciais.
A equação diferencial dada por:
\left(2 x^{3}+y\right) d x-x d y=0
Não é exata e tem fator integrante Não é exata e tem fator integrante (m(x)=\frac{1}{x^{2}}).

Passo 1

O enunciado pede que eu analise duas sentenças sobre a equação diferencial
\left(2 x^{3}+y\right) d x - x\, d y = 0
e diga para cada uma se é verdadeira ou falsa, justificando. As duas sentenças são, em essência:
  1. “Não é exata e tem fator integrante.”
  2. “Não é exata e tem fator integrante \displaystyle m(x)=\frac{1}{x^{2}}.”
As informações dadas explicitamente: a equação diferencial escrita no formato M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com
M(x,y)=2x^{3}+y,\qquad N(x,y)=-x.

Passo 2

Definição e teste de exatidão (aulas rápidas):
Uma equação diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M\quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
Um teste prático é comparar as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}\quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x}.
Se forem iguais em uma região, a equação é exata. Vou calcular essas derivadas para nossa M e N.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(2x^{3}+y\right)=1,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left(-x\right)=-1.
Como \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=1\neq -1=\frac{\partial N}{\partial x}, a equação NÃO é exata. Logo, a primeira parte das sentenças (“Não é exata”) está correta.

Passo 4

Conceito de fator integrante dependente só de x:
Se a expressão
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}
depende apenas de x (ou seja, não depende de y), então existe um fator integrante \mu(x) dado por
\mu(x)=\exp\left(\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}\,dx\right).
Aqui vou calcular essa expressão para ver se depende só de x.

Passo 5

Calcular a razão:
Já computamos \frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=1-(-1)=2. Então
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x},
que depende somente de x (válido para x\neq 0). Portanto existe um fator integrante que depende somente de x. Isso confirma a afirmação genérica de que “tem fator integrante”.

Passo 6

Encontrar explicitamente \mu(x):
Usando a fórmula,
\mu(x)=\exp\left(\int -\frac{2}{x}\,dx\right)=\exp\left(-2\ln|x|\right)=|x|^{-2}.
Podemos escolher \mu(x)=x^{-2} (considerando x\neq 0). Assim
\mu(x)=\frac{1}{x^{2}}.

Passo 7

Verificação: multiplicar a equação por \mu(x)=\dfrac{1}{x^{2}} e checar exatidão.
Multiplicando, obtemos a nova equação
\left(\frac{2x^{3}+y}{x^{2}}\right)\,dx+\left(\frac{-x}{x^{2}}\right)\,dy=0,
ou seja
\widetilde{M}(x,y)=2x+\frac{y}{x^{2}},\qquad \widetilde{N}(x,y)=-\frac{1}{x}.
Agora calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}=\frac{1}{x^{2}},\qquad \frac{\partial \widetilde{N}}{\partial x}=\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x^{2}}.
Como são iguais, a equação multiplicada por \mu(x)=1/x^{2} é exata. Portanto \mu(x)=1/x^{2} é de fato um fator integrante válido.

Passo 8

(Só para confirmar: solução implícita rápida como checagem)
Se quisermos achar a função potencial \Phi tal que \Phi_x=\widetilde{M} e \Phi_y=\widetilde{N}, integramos:
\Phi(x,y)=\int \left(2x+\frac{y}{x^{2}}\right)dx = x^{2}-\frac{y}{x} + h(y).
Derivando em relação a y e igualando a \widetilde{N}:
\Phi_y=-\frac{1}{x}+h'(y) \stackrel{!}{=}-\frac{1}{x}\Rightarrow h'(y)=0.
Logo a solução implícita é
\Phi(x,y)=x^{2}-\frac{y}{x}=C,
o que confirma que a equação se tornou exata com o fator integrante encontrado.

Resposta

Não é exata e tem fator integrante: Verdadeira.
Não é exata e tem fator integrante \displaystyle m(x)=\frac{1}{x^{2}}: Verdadeira.

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