Analise se as séries abaixo convergem ou não indicando o teste usado:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{arctg} n}{n^{1.1}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\arctan n}{n^{1.1}}
converge ou diverge, indicando qual teste de convergência usamos. O conteúdo envolvido são séries de termos positivos, em especial o teste de comparação (ou comparação em limite) e o critério da p-série.

Passo 2

Observamos que \arctan n é crescente em n e tende a
\lim_{n\to\infty}\arctan n = \frac{\pi}{2}.
Logo, para n grande, \arctan n fica “próxima” de \pi/2 e, em particular, é limitada por uma constante positiva.

Passo 3

Escolhemos a p-série de referência
b_n = \frac{1}{n^{1.1}},
que sabemos convergir porque o expoente 1{,}1>1. Aplicamos o teste de comparação em limite definindo a_n = \frac{\arctan n}{n^{1.1}} e calculando
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\arctan n / n^{1.1}}{1/n^{1.1}} = \lim_{n\to\infty}\arctan n = \frac{\pi}{2}.
Como 0< L<\infty, a série \sum a_n e a série \sum b_n têm o mesmo comportamento.

Passo 4

Sabendo que \sum b_n = \sum 1/n^{1.1} converge (p-série com p=1{,}1>1), concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\arctan n}{n^{1.1}}
também converge pelo teste de comparação em limite.

Resposta

A série converge (teste de comparação em limite com a p-série \sum 1/n^{1.1}).

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